3.26 Dado o campo \mathbf{D}=\frac{5 \operatorname{sen} \theta \cos \varphi}{r} a, \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}, determine: (a) a densidade volumétrica de carga; (b) a carga total contida na regiino r<2 \mathrm{~m}; (c) o valor de \mathbf{D} na superfície r =2; (d) o fluxo elétrico total que deixa a superficie r =2.

Passo 1

O enunciado dá o campo de deslocamento elétrico
\mathbf{D}=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r}\,\mathbf{a}_r,
com unidades de \mathrm{C}/\mathrm{m}^2. Precisa-se determinar:
(a) a densidade volumétrica de carga; (b) a carga total contida na região r<2\\ \mathrm{m}; (c) o valor de \mathbf{D} na superfície r=2; (d) o fluxo elétrico total que sai da superfície r=2.
Dados relevantes que já temos:
\mathbf{D}(r,\theta,\varphi)=D_r(r,\theta,\varphi)\,\mathbf{a}_r,\qquad D_r=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r}.
Usaremos coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). A superfície pedida em (c) e (d) é a esfera de raio 2.

Passo 2

Primeiro precisamos saber como obter a densidade volumétrica de carga a partir de \mathbf{D}. A relação local de Maxwell (forma diferencial da lei de Gauss) diz que a densidade volumétrica de carga elétrica \rho_v está ligada à divergência de \mathbf{D} por
\rho_v=\nabla\cdot\mathbf{D}.
Na prática, calculamos \nabla\cdot\mathbf{D}. Em coordenadas esféricas, para um campo cujo único componente é o radial D_r, a fórmula da divergência é
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 D_r\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\big(\sin\theta\,D_\theta\big) +\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial D_\varphi}{\partial\varphi}.
Como aqui D_\theta=0 e D_\varphi=0, só sobra o primeiro termo radial. Vou explicar: o termo \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2 D_r) mede como o fluxo radial varia com r; os outros termos aparecem quando há componentes angulares.

Passo 3

Calculemos explicitamente \nabla\cdot\mathbf{D}. Temos D_r=\dfrac{5\sin\theta\cos\varphi}{r}. Então
r^2 D_r = r^2\cdot\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r}=5r\sin\theta\cos\varphi.
Derivando em relação a r:
\frac{\partial}{\partial r}\big(r^2 D_r\big)=\frac{\partial}{\partial r}\big(5r\sin\theta\cos\varphi\big)=5\sin\theta\cos\varphi,
pois \sin\theta\cos\varphi é independente de r. Agora divide-se por r^2:
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{1}{r^2}\cdot 5\sin\theta\cos\varphi=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r^2}.

Passo 4

Portanto a densidade volumétrica de carga é
\rho_v=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r^2}\quad\text{(em }\mathrm{C}/\mathrm{m}^3\text{).}
Comentário didático: essa função varia com as direções \theta e \varphi — em algumas direções \rho_v é positiva, em outras é negativa (porque \cos\varphi muda de sinal), e decai como 1/r^2 em r.

Passo 5

Agora a carga total dentro da região r<2. Montamos a integral de volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume é dV=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi. Assim
Q=\iiint_{V}\rho_v\,dV =\int_{r=0}^{2}\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r^2}\;r^2\sin\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr.
Observe que os fatores r^2 se cancelam:
Q=5\int_{0}^{2}dr\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi.
O integral em \varphi é
\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi=\big[\sin\varphi\big]_{0}^{2\pi}= \sin(2\pi)-\sin(0)=0.
Portanto todo o integral é zero:
Q=0.
Interpretação física: as cargas positivas e negativas dentro da esfera se cancelam exatamente.

Passo 6

Para o item (c) basta avaliar \mathbf{D} em r=2. Substituindo r=2 em D_r,
\mathbf{D}(r=2)=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{2}\,\mathbf{a}_r.
Isso já é a expressão do campo na superfície esférica de raio 2.

Passo 7

Finalmente, o fluxo elétrico total que sai da superfície r=2 é o integral de superfície
\Phi=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}.
Para uma esfera de raio r com área elementar dA=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e normal radial, temos
\Phi=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi} D_r(r=2,\theta,\varphi)\; (2^2\sin\theta)\,d\varphi\,d\theta.
Substituindo D_r(r=2)=\dfrac{5\sin\theta\cos\varphi}{2} e 2^2=4,
\Phi=\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{2}\cdot 4\sin\theta\,d\varphi\,d\theta =10\int_{0}^{\pi}\sin^2\theta\,d\theta\int_{0}^{2\pi}\cos\varphi\,d\varphi.
Como no cálculo da carga, o integral em \varphi é zero, então
\Phi=0.
Observação: isso confere com a lei de Gauss — o fluxo através da superfície iguala a carga total envolvida, que achamos ser zero.

Resposta

(a) \displaystyle \rho_v=\frac{5\sin\theta\cos\varphi}{r^2}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^3
(b) \displaystyle Q=\;0
(c) \displaystyle \mathbf{D}(r=2)=\frac{5}{2}\sin\theta\cos\varphi\;\mathbf{a}_r\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^2
(d) \displaystyle \Phi=\;0

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