3.26 Dado o campo
a,
, determine: (a) a densidade volumétrica de carga; (b) a carga total contida na regiino
; (c) o valor de
na superfície
; (d) o fluxo elétrico total que deixa a superficie
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de deslocamento elétrico
com unidades de
. Precisa-se determinar:
(a) a densidade volumétrica de carga; (b) a carga total contida na região ; (c) o valor de
na superfície
; (d) o fluxo elétrico total que sai da superfície
.
(a) a densidade volumétrica de carga; (b) a carga total contida na região
Dados relevantes que já temos:
Usaremos coordenadas esféricas
. A superfície pedida em (c) e (d) é a esfera de raio
.
Passo 2
Primeiro precisamos saber como obter a densidade volumétrica de carga a partir de
. A relação local de Maxwell (forma diferencial da lei de Gauss) diz que a densidade volumétrica de carga elétrica
está ligada à divergência de
por
Na prática, calculamos
. Em coordenadas esféricas, para um campo cujo único componente é o radial
, a fórmula da divergência é
Como aqui
e
, só sobra o primeiro termo radial. Vou explicar: o termo
mede como o fluxo radial varia com
; os outros termos aparecem quando há componentes angulares.
Passo 3
Calculemos explicitamente
. Temos
. Então
Derivando em relação a
:
pois
é independente de
. Agora divide-se por
:
Passo 4
Portanto a densidade volumétrica de carga é
Comentário didático: essa função varia com as direções
e
— em algumas direções
é positiva, em outras é negativa (porque
muda de sinal), e decai como
em
.
Passo 5
Agora a carga total dentro da região
. Montamos a integral de volume em coordenadas esféricas. O elemento de volume é
. Assim
Observe que os fatores
se cancelam:
O integral em
é
Portanto todo o integral é zero:
Interpretação física: as cargas positivas e negativas dentro da esfera se cancelam exatamente.
Passo 6
Para o item (c) basta avaliar
em
. Substituindo
em
,
Isso já é a expressão do campo na superfície esférica de raio
.
Passo 7
Finalmente, o fluxo elétrico total que sai da superfície
é o integral de superfície
Para uma esfera de raio
com área elementar
e normal radial, temos
Substituindo
e
,
Como no cálculo da carga, o integral em
é zero, então
Observação: isso confere com a lei de Gauss — o fluxo através da superfície iguala a carga total envolvida, que achamos ser zero.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)