1. (1,25) Encontre a solução geral da EDO y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4=0.

Passo 1

Enunciado: resolver a equação diferencial ordinária
y'' + 4y' + 4 = 0.
O que é pedido: encontrar a solução geral y(x) da EDO, ou seja, a família de todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x.
Informações relevantes dadas:
y'' + 4y' + 4 = 0
é uma EDO de ordem dois com coeficientes constantes e o termo livre (constante) 4 aparece somado às derivadas. Não há mais informação extra (condições iniciais), então vamos buscar a solução geral com duas constantes arbitrárias.

Passo 2

Organizar a equação de forma conveniente: passo o termo constante para o outro lado para ver claramente o membro não homogêneo:
y'' + 4y' = -4.
Aqui a ideia padrão é escrever a solução geral como soma da solução complementar (homogênea) y_h e de uma solução particular y_p:
y(x)=y_h(x)+y_p(x).
Explico rapidamente: y_h resolve a equação homogênea obtida zerando o lado direito, e y_p é qualquer solução da equação completa. Isso vale porque a equação é linear.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada:
y'' + 4y' = 0.
Usamos a técnica do polinômio característico: suponha uma solução da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2 + 4r = 0.
Agora resolvo esse polinômio: fatoro r e tenho
r(r+4)=0,
logo as raízes são r=0 e r=-4.
Quando a equação característica tem raízes distintas reais r_1,r_2, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais e^{r_1 x} e e^{r_2 x}. Aqui, portanto,
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-4x}=C_1 + C_2 e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. (Observação: e^{0x}=1, por isso aparece a constante C_1.)

Passo 4

Buscar uma solução particular y_p da equação completa
y'' + 4y' = -4.
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Explico o raciocínio: o lado direito -4 é uma constante (polinômio de grau zero), então tentamos um polinômio de grau zero como tentativa inicial, isto é y_p=A constante. Mas atenção: se A já for solução da homogênea (ou seja, se a função constante pertence a y_h), precisamos multiplicar a tentativa por x para obter independência. No nosso caso a homogênea contém uma constante ( C_1), então há ressonância e devemos tentar um polinômio de grau um multiplicado por x^1, ou de forma prática: tentar
y_p(x)=Ax+B.
(Outra maneira de ver: a raiz r=0 indica que constantes estão no espaço homogêneo, por isso a tentativa de grau zero falha e sobe-se o grau.)

Passo 5

Determinar os coeficientes A e B. Calculo derivadas de y_p:
y_p'(x)=A,
y_p''(x)=0.
Substituo na equação
y'' + 4y' = -4
e obtenho
0 + 4A = -4.
Assim
4A = -4 \implies A = -1.
Note que B não aparece na equação — isso significa que qualquer valor de B satisfaz a equação particular. Mas esse B pode ser absorbido na constante C_1 da solução homogênea (porque C_1 multiplica a função constante). Portanto podemos tomar, para simplicidade,
y_p(x) = -x.

Passo 6

Combino as partes para obter a solução geral:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-4x} - x.
Podemos reescrever de forma mais organizada:
y(x)=C_1 - x + C_2 e^{-4x},
com C_1,C_2 constantes arbitrárias reais.

Passo 7

Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calculo y' e y'' e testo na equação original.
y'(x) = -1 -4C_2 e^{-4x},
y''(x)= 16 C_2 e^{-4x}.
Substituindo:
y'' + 4y' + 4 = 16C_2 e^{-4x} +4(-1 -4C_2 e^{-4x}) +4 = 16C_2 e^{-4x} -4 -16C_2 e^{-4x} +4 = 0.
Confere perfeitamente.

Resposta

y(x)=C_1 - x + C_2 e^{-4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

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