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Encontre a solução geral da EDO
.
Passo 1
Enunciado: resolver a equação diferencial ordinária
O que é pedido: encontrar a solução geral
da EDO, ou seja, a família de todas as funções
que satisfazem essa igualdade para todo
.
Informações relevantes dadas:
é uma EDO de ordem dois com coeficientes constantes e o termo livre (constante)
aparece somado às derivadas. Não há mais informação extra (condições iniciais), então vamos buscar a solução geral com duas constantes arbitrárias.
Passo 2
Organizar a equação de forma conveniente: passo o termo constante para o outro lado para ver claramente o membro não homogêneo:
Aqui a ideia padrão é escrever a solução geral como soma da solução complementar (homogênea)
e de uma solução particular
:
Explico rapidamente:
resolve a equação homogênea obtida zerando o lado direito, e
é qualquer solução da equação completa. Isso vale porque a equação é linear.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada:
Usamos a técnica do polinômio característico: suponha uma solução da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Agora resolvo esse polinômio: fatoro
e tenho
logo as raízes são
e
.
Quando a equação característica tem raízes distintas reais
, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais
e
. Aqui, portanto,
onde
e
são constantes arbitrárias. (Observação:
, por isso aparece a constante
.)
Passo 4
Buscar uma solução particular
da equação completa
Método escolhido: coeficientes indeterminados. Explico o raciocínio: o lado direito
é uma constante (polinômio de grau zero), então tentamos um polinômio de grau zero como tentativa inicial, isto é
constante. Mas atenção: se
já for solução da homogênea (ou seja, se a função constante pertence a
), precisamos multiplicar a tentativa por
para obter independência. No nosso caso a homogênea contém uma constante (
), então há ressonância e devemos tentar um polinômio de grau um multiplicado por
, ou de forma prática: tentar
(Outra maneira de ver: a raiz
indica que constantes estão no espaço homogêneo, por isso a tentativa de grau zero falha e sobe-se o grau.)
Passo 5
Determinar os coeficientes
e
. Calculo derivadas de
:
Substituo na equação
e obtenho
Assim
Note que
não aparece na equação — isso significa que qualquer valor de
satisfaz a equação particular. Mas esse
pode ser absorbido na constante
da solução homogênea (porque
multiplica a função constante). Portanto podemos tomar, para simplicidade,
Passo 6
Combino as partes para obter a solução geral:
Podemos reescrever de forma mais organizada:
com
constantes arbitrárias reais.
Passo 7
Verificação rápida (sempre bom conferir na prova): calculo
e
e testo na equação original.
Substituindo:
Confere perfeitamente.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias.