1. (1,25) Verifique que a edo (2 x-y+\cos x) d x+(2 y-x) d y=0 é exata e resolva-a.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial ordinária
(2x - y + \cos x)\,dx + (2y - x)\,dy = 0
é exata e, em seguida, resolver essa equação (encontrar a solução geral).
As informações dadas que vamos usar são os coeficientes da diferencial: M(x,y)=2x-y+\cos x (multiplicando dx) e N(x,y)=2y-x (multiplicando dy).

Passo 2

O que significa “exata” e como vamos verificar isso?
Uma equação na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 é exata se existe uma função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. Uma condição prática e simples para testar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Vou aplicar exatamente esse teste. (Explicando: \Psi_x é a derivada parcial de \Psi em relação a x, e \Psi_y é a derivada parcial em relação a y.)

Passo 3

Calculo as derivadas parciais necessárias. Para M(x,y)=2x-y+\cos x,
\frac{\partial M}{\partial y} = -1,
pois derivada de -y em relação a y é -1 e \cos x e 2x não dependem de y.
Para N(x,y)=2y-x,
\frac{\partial N}{\partial x} = -1,
pois derivada de -x em relação a x é -1 e 2y não depende de x.
Como \partial M/\partial y = -1 = \partial N/\partial x, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a EDO é exata (em todo \mathbb{R}^2, já que as derivadas parciais são contínuas).

Passo 4

Agora vamos encontrar a função potencial \Psi(x,y) tal que \Psi_x=M e \Psi_y=N. O procedimento padrão é: integrar M em relação a x (tratando y como constante) para obter \Psi até uma ``função de integração’’ h(y) que depende só de y. Depois usamos a condição \Psi_y=N para determinar h(y).

Passo 5

Integro M(x,y)=2x-y+\cos x em relação a x:
\Psi(x,y)=\int (2x-y+\cos x)\,dx.
Integro termo a termo:
  • \int 2x\,dx = x^2,
  • \int (-y)\,dx = -xy (porque y é constante na integração em x),
  • \int \cos x\,dx = \sin x.
    Somando e acrescentando uma função arbitrária de y, obtenho
\Psi(x,y)=x^2 - x y + \sin x + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida que depende só de y.

Passo 6

Agora uso a condição \Psi_y=N. Calculo \Psi_y a partir da expressão encontrada:
\Psi_y = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 - x y + \sin x + h(y)\bigr) = -x + h'(y).
Essa derivada parcial deve ser igual a N(x,y)=2y-x. Igualando:
-x + h'(y) = 2y - x.
Elimino -x dos dois lados e obtenho h'(y)=2y. Integro em relação a y:
h(y)=\int 2y\,dy = y^2 + C_1,
onde C_1 é constante. Podemos incorporar C_1 depois como constante da solução geral.

Passo 7

Substituo h(y)=y^2 (já que a constante pode ser posta no lado da solução final) em \Psi:
\Psi(x,y)=x^2 - x y + \sin x + y^2.
A solução geral implícita da equação exata é dada por \Psi(x,y)=C, com C constante arbitrária. Portanto a família de curvas soluções é
x^2 - x y + y^2 + \sin x = C,
onde C é constante real.

Resposta

x^{2}-x y+y^{2}+\sin x=C

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