- (1,25) Verifique que a edo
é exata e resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: verificar que a equação diferencial ordinária
é exata e, em seguida, resolver essa equação (encontrar a solução geral).
As informações dadas que vamos usar são os coeficientes da diferencial: (multiplicando
) e
(multiplicando
).
é exata e, em seguida, resolver essa equação (encontrar a solução geral).
As informações dadas que vamos usar são os coeficientes da diferencial:
Passo 2
O que significa “exata” e como vamos verificar isso?
Uma equação na forma é exata se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática e simples para testar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é:
Uma equação na forma
Vou aplicar exatamente esse teste. (Explicando:
é a derivada parcial de
em relação a
, e
é a derivada parcial em relação a
.)
Passo 3
Calculo as derivadas parciais necessárias. Para
,
pois derivada de
em relação a
é
e
e
não dependem de
.
Para ,
Para
pois derivada de
em relação a
é
e
não depende de
.
Como , a condição de exatidão é satisfeita. Portanto a EDO é exata (em todo
, já que as derivadas parciais são contínuas).
Como
Passo 4
Agora vamos encontrar a função potencial
tal que
e
. O procedimento padrão é: integrar
em relação a
(tratando
como constante) para obter
até uma ``função de integração’’
que depende só de
. Depois usamos a condição
para determinar
.
Passo 5
Integro
em relação a
:
Integro termo a termo:
-
, -
(porque é constante na integração em ), -
.
Somando e acrescentando uma função arbitrária de, obtenho
onde
é uma função desconhecida que depende só de
.
Passo 6
Agora uso a condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Essa derivada parcial deve ser igual a
. Igualando:
Elimino
dos dois lados e obtenho
. Integro em relação a
:
onde
é constante. Podemos incorporar
depois como constante da solução geral.
Passo 7
Substituo
(já que a constante pode ser posta no lado da solução final) em
:
A solução geral implícita da equação exata é dada por
, com
constante arbitrária. Portanto a família de curvas soluções é
onde
é constante real.