25- \int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
25 \;-\;\int_{0}^{2}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx.
O conteúdo envolvido é cálculo de integral definida de uma função racional simples, que pode ser resolvida por substituição.

Passo 2

Para a integral
\int_{0}^{2}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx
fazemos a substituição
u = 1 + x^{2}, \quad du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Quando x=0, u=1. Quando x=2, u=1+2^{2}=5.

Passo 3

Aplicando a substituição na integral, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=5}\frac{1}{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}\frac{du}{u} = \frac{1}{2}\Bigl[\ln(u)\Bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{2}\bigl(\ln(5)-\ln(1)\bigr).
Como \ln(1)=0, isso vale
\int_{0}^{2}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\ln(5).

Passo 4

Substituindo esse resultado na expressão original, temos
25 \;-\;\int_{0}^{2}\frac{x}{1+x^{2}}\,dx = 25 \;-\;\frac{1}{2}\ln(5).

Resposta

25 - \tfrac{1}{2}\ln(5)

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