L =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n(2n-1)}\,|x| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n(1+\tfrac1{2n})}{4n^2(1-\tfrac1{2n})}\,|x| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2n}=0.
Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente em qualquer valor de x.
Passo 5
Pelo Teste da Razão, o raio de convergência é
R=\infty
e, portanto, o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).
Resposta
O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).