Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1.3 .5 . \cdots .(2 n-1)}{(2 n-2)!} x^{n}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2n-2)!}\,x^{n}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Vamos usar o Teste da Razão, que exige calcular
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n}\right|,
onde
a_n = \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2n-2)!}.

Passo 2

Calculamos primeiro o quociente dos coeficientes
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle 1\cdot3\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}{(2n)!}\;\bigg/\;\frac{\displaystyle1\cdot3\cdots(2n-1)}{(2n-2)!} = \frac{(2n-2)!}{(2n)!}\,(2n+1).
Como (2n)!=(2n)(2n-1)(2n-2)!, segue
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2n+1}{(2n)(2n-1)}.

Passo 3

Agora aplicamos o Teste da Razão ao termo geral a_n x^n:
\left|\frac{a_{n+1}\,x^{n+1}}{a_n\,x^n}\right| = \frac{2n+1}{2n(2n-1)}\,|x|.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty:
L =\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n(2n-1)}\,|x| =\lim_{n\to\infty}\frac{2n(1+\tfrac1{2n})}{4n^2(1-\tfrac1{2n})}\,|x| =\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{2n}=0.
Como L=0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente em qualquer valor de x.

Passo 5

Pelo Teste da Razão, o raio de convergência é
R=\infty
e, portanto, o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

O raio de convergência é R=\infty e o intervalo de convergência é (-\infty,\infty).

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