25.7 A liquid flows over a thin, flat sheet of a slightly soluble solid. Over the region in which diffusion is occurring, the liquid velocity may be assumed to be parallel to the plate and to be given by v=a y, where y is the vertical distance from the plate and a is a constant. Show that the equation governing the mass transfer, with certain simplifying assumptions, is
D_{A B}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}
List the simplifying assumptions, and propose reasonable boundary conditions.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (i) mostrar (derivar) a equação diferencial parcial
D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x},
(ii) listar as simplificações (pressupostos) usadas na dedução, e (iii) propor condições de contorno razoáveis para o problema do escoamento paralelo sobre a placa.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\text{velocidade do fluido: } v_x = a y,\quad v_y=0,
onde y é a distância vertical a partir da placa e a é constante; a espécie dissolvida tem concentração c_A(x,y) e difusividade D_{AB}. O escoamento e a região de interesse são bidimensionais ( x,y).

Passo 2

Escrevendo a conservação de massa do constituinte A em forma diferencial (estado estacionário, sem fontes químicas internas): o balanço local diz que a divergência do fluxo total é nula. O fluxo total tem duas partes: o transporte convectivo (c_A\mathbf{v}) e o transporte difusivo \mathbf{J}_A. Então, em notação vetorial,
\nabla\cdot\big(c_A\mathbf{v}+\mathbf{J}_A\big)=0.
Explico: \nabla\cdot(\cdot) mede a taxa líquida de saída por unidade de volume; c_A\mathbf{v} é a massa (ou molar) que sai por convecção; \mathbf{J}_A é o fluxo difusivo que representa movimento por diferenças de concentração.

Passo 3

Usamos a lei de Fick (primeira lei) para o fluxo difusivo no regime de mistura diluída e propriedades constantes:
\mathbf{J}_A = -D_{AB}\nabla c_A.
Explanação didática da lei de Fick: a lei diz que o fluxo por difusão vai no sentido oposto ao gradiente de concentração; D_{AB} é a difusividade (constante aqui) e \nabla c_A é o vetor gradiente, com componentes \partial c_A/\partial x e \partial c_A/\partial y.
Substituindo \mathbf{J}_A no balanço do Passo 2:
\nabla\cdot\big(c_A\mathbf{v} - D_{AB}\nabla c_A\big)=0.

Passo 4

Agora vamos usar a hipótese de escoamento incompressível e estado estacionário para simplificar a expressão. Se o fluido é incompressível então \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Expandindo a divergência:
\nabla\cdot(c_A\mathbf{v}) = \mathbf{v}\cdot\nabla c_A + c_A(\nabla\cdot\mathbf{v}).
Com \nabla\cdot\mathbf{v}=0 obtemos
\nabla\cdot(c_A\mathbf{v}) = \mathbf{v}\cdot\nabla c_A.
Logo o balanço fica
\mathbf{v}\cdot\nabla c_A - \nabla\cdot\big(D_{AB}\nabla c_A\big) = 0.
Se D_{AB} for constante, \nabla\cdot(D_{AB}\nabla c_A)=D_{AB}\nabla^2 c_A. Assim
\mathbf{v}\cdot\nabla c_A = D_{AB}\nabla^2 c_A.
Isto é a forma padrão da equação de convecção-difusão em regime estacionário, que vou agora aplicar ao caso dado.

Passo 5

Aplicamos a geometria 2D e o campo de velocidade dado. Em coordenadas cartesianas bidimensionais:
\mathbf{v} = (v_x,v_y) = (a y,\,0).
O operador convectivo é
\mathbf{v}\cdot\nabla c_A = v_x\frac{\partial c_A}{\partial x} + v_y\frac{\partial c_A}{\partial y} = a y \frac{\partial c_A}{\partial x}.
O laplaciano em 2D é
\nabla^2 c_A = \frac{\partial^2 c_A}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 c_A}{\partial y^2}.

Passo 6

Substituindo essas expressões na equação do Passo 4 obtemos exatamente a equação requisitada:
D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}.
Comentário pedagógico: o lado esquerdo representa a difusão em x e y; o lado direito é a advecção na direção x pelo escoamento cuja velocidade cresce linearmente com y.

Passo 7

Listo agora, de forma explícita e com uma breve justificativa, as simplificações (pressupostos) usadas na dedução:
  1. Estado estacionário (regime permanente): \partial c_A/\partial t=0. Justificativa: buscamos uma solução independente do tempo ou supondo que o regime estacionário foi atingido.
  2. Fluido incompressível: \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Comumente verdadeiro para líquidos.
  3. Escoamento bidimensional (variação apenas em x e y; nada varia em z). Simplifica o problema ao plano da folha.
  4. Campo de velocidade prescrito e paralelo à placa: v_x=a y, v_y=0. Informação dada pelo enunciado.
  5. Difusão de Fick com difusividade constante: \mathbf{J}_A=-D_{AB}\nabla c_A com D_{AB} constante. Isso descarta dependência de c_A ou T sobre D_{AB}.
  6. Diluição da espécie A (mistura diluída): o transporte convectivo é bem representado por c_A\mathbf{v} sem termos de atividade complexos; também permite usar Fick linear.
  7. Sem reações químicas no fluido e sem fontes volumétricas de A (a única origem é a superfície solúvel).
  8. Superfície plana, homogênea e extensa: condições de contorno simples podem ser aplicadas ao longo de y=0 e y\to\infty.
Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo, difusividade variável, compressibilidade, reação), a equação precisa ser modificada.

Passo 8

Proponho condições de contorno razoáveis para este problema físico (cada uma com uma pequena justificativa):
  1. Condição na superfície sólida ( y=0, para x>0): a superfície é ligeiramente solúvel; se assumirmos que o líquido adjacente atinge a concentração de saturação, então
c_A(x,0)=c_{s}\quad\text{(concentração de saturação na superfície).}çãçãí
Alternativa física: se a dissolução é limitada cineticamente, poderia ser usado um fluxograma de tipo -D_{AB}\left.\dfrac{\partial c_A}{\partial y}\right|_{y=0}=k\big(c_s - c_A|_{\text{algo}}\big), mas a condição de Dirichlet c=c_s é a mais simples e frequente quando a superfície está em equilíbrio.
  1. Condição no infinito vertical (fora da camada limite), y\to\infty: o fluido longe da placa tem concentração de bulk conhecida c_\infty,
\lim_{y\to\infty} c_A(x,y) = c_\infty.
Isto representa que, longe da parede, a mistura não foi afetada pela dissolução (ou está em condição de escoamento externo).
  1. Condição na entrada do domínio no sentido x (escolhemos x=0 como entrada, para y>0): o fluido que chega tem concentração c_\infty,
c_A(0,y) = c_\infty\quad\text{para }y>0.
Isto representa que a água/fluido que alcança a placa inicialmente é limpa (concentração de bulk).
  1. Condição para x\to\infty (comportamento a jusante): exigir solução limitada e, se útil numericamente, pode-se usar
\lim_{x\to\infty} \frac{\partial c_A}{\partial x} = 0
ou simplesmente que c_A permaneça finita e tendendo a algum valor (variante prática usada em simulações).
  1. Condição de simetria/corda em y se aplicável: não necessária aqui.
Também é comum expressar o fluxo de massa da superfície em termos do gradiente normal:
N_A(x) = -D_{AB}\left.\frac{\partial c_A}{\partial y}\right|_{y=0},
que pode ser igualado à taxa de dissolução por unidade de área se essa for conhecida.

Resposta

D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}
Pressupostos: estado estacionário ( \partial c_A/\partial t=0); fluido incompressível ( \nabla\cdot\mathbf{v}=0); escoamento bidimensional; velocidade prescrita v_x=a y,\;v_y=0; difusão de Fick com D_{AB} constante; mistura diluída; sem reações volumétricas; superfície plana homogênea.
Condições de contorno razoáveis: c_A(x,0)=c_s (concentração de saturação na superfície), \lim_{y\to\infty}c_A(x,y)=c_\infty, c_A(0,y)=c_\infty para y>0; condição a jusante \lim_{x\to\infty}\partial c_A/\partial x=0 (ou solução limitada).

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