25.7 A liquid flows over a thin, flat sheet of a slightly soluble solid. Over the region in which diffusion is occurring, the liquid velocity may be assumed to be parallel to the plate and to be given by v=a y, where y is the vertical distance from the plate and a is a constant. Show that the equation governing the mass transfer, with certain simplifying assumptions, is
D_{A B}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}
List the simplifying assumptions, and propose reasonable boundary conditions.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (i) mostrar (derivar) a equação diferencial parcial
D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x},
(ii) listar as simplificações (pressupostos) usadas na dedução, e (iii) propor condições de contorno razoáveis para o problema do escoamento paralelo sobre a placa.
Informações dadas que vamos usar explicitamente:
\text{velocidade do fluido: } v_x = a y,\quad v_y=0,
onde y é a distância vertical a partir da placa e a é constante; a espécie dissolvida tem concentração c_A(x,y) e difusividade D_{AB}. O escoamento e a região de interesse são bidimensionais (x,y).
Passo 2
Escrevendo a conservação de massa do constituinte A em forma diferencial (estado estacionário, sem fontes químicas internas): o balanço local diz que a divergência do fluxo total é nula. O fluxo total tem duas partes: o transporte convectivo (c_A\mathbf{v}) e o transporte difusivo \mathbf{J}_A. Então, em notação vetorial,
Explico: \nabla\cdot(\cdot) mede a taxa líquida de saída por unidade de volume; c_A\mathbf{v} é a massa (ou molar) que sai por convecção; \mathbf{J}_A é o fluxo difusivo que representa movimento por diferenças de concentração.
Passo 3
Usamos a lei de Fick (primeira lei) para o fluxo difusivo no regime de mistura diluída e propriedades constantes:
\mathbf{J}_A = -D_{AB}\nabla c_A.
Explanação didática da lei de Fick: a lei diz que o fluxo por difusão vai no sentido oposto ao gradiente de concentração; D_{AB} é a difusividade (constante aqui) e \nabla c_A é o vetor gradiente, com componentes \partial c_A/\partial x e \partial c_A/\partial y.
Agora vamos usar a hipótese de escoamento incompressível e estado estacionário para simplificar a expressão. Se o fluido é incompressível então \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Expandindo a divergência:
Substituindo essas expressões na equação do Passo 4 obtemos exatamente a equação requisitada:
D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}.
Comentário pedagógico: o lado esquerdo representa a difusão em x e y; o lado direito é a advecção na direção x pelo escoamento cuja velocidade cresce linearmente com y.
Passo 7
Listo agora, de forma explícita e com uma breve justificativa, as simplificações (pressupostos) usadas na dedução:
Estado estacionário (regime permanente): \partial c_A/\partial t=0. Justificativa: buscamos uma solução independente do tempo ou supondo que o regime estacionário foi atingido.
Fluido incompressível: \nabla\cdot\mathbf{v}=0. Comumente verdadeiro para líquidos.
Escoamento bidimensional (variação apenas em x e y; nada varia em z). Simplifica o problema ao plano da folha.
Campo de velocidade prescrito e paralelo à placa: v_x=a y, v_y=0. Informação dada pelo enunciado.
Difusão de Fick com difusividade constante: \mathbf{J}_A=-D_{AB}\nabla c_A com D_{AB} constante. Isso descarta dependência de c_A ou T sobre D_{AB}.
Diluição da espécie A (mistura diluída): o transporte convectivo é bem representado por c_A\mathbf{v} sem termos de atividade complexos; também permite usar Fick linear.
Sem reações químicas no fluido e sem fontes volumétricas de A (a única origem é a superfície solúvel).
Superfície plana, homogênea e extensa: condições de contorno simples podem ser aplicadas ao longo de y=0 e y\to\infty.
Se alguma dessas hipóteses falhar (por exemplo, difusividade variável, compressibilidade, reação), a equação precisa ser modificada.
Passo 8
Proponho condições de contorno razoáveis para este problema físico (cada uma com uma pequena justificativa):
Condição na superfície sólida (y=0, para x>0): a superfície é ligeiramente solúvel; se assumirmos que o líquido adjacente atinge a concentração de saturação, então
c_A(x,0)=c_{s}\quad\text{(concentração de saturação na superfície).}
Alternativa física: se a dissolução é limitada cineticamente, poderia ser usado um fluxograma de tipo -D_{AB}\left.\dfrac{\partial c_A}{\partial y}\right|_{y=0}=k\big(c_s - c_A|_{\text{algo}}\big), mas a condição de Dirichlet c=c_s é a mais simples e frequente quando a superfície está em equilíbrio.
Condição no infinito vertical (fora da camada limite), y\to\infty: o fluido longe da placa tem concentração de bulk conhecida c_\infty,
\lim_{y\to\infty} c_A(x,y) = c_\infty.
Isto representa que, longe da parede, a mistura não foi afetada pela dissolução (ou está em condição de escoamento externo).
Condição na entrada do domínio no sentido x (escolhemos x=0 como entrada, para y>0): o fluido que chega tem concentração c_\infty,
c_A(0,y) = c_\infty\quad\text{para }y>0.
Isto representa que a água/fluido que alcança a placa inicialmente é limpa (concentração de bulk).
Condição para x\to\infty (comportamento a jusante): exigir solução limitada e, se útil numericamente, pode-se usar
que pode ser igualado à taxa de dissolução por unidade de área se essa for conhecida.
Resposta
D_{AB}\left(\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} c_{A}}{\partial y^{2}}\right)=a y \frac{\partial c_{A}}{\partial x}
Pressupostos: estado estacionário (\partial c_A/\partial t=0); fluido incompressível (\nabla\cdot\mathbf{v}=0); escoamento bidimensional; velocidade prescrita v_x=a y,\;v_y=0; difusão de Fick com D_{AB} constante; mistura diluída; sem reações volumétricas; superfície plana homogênea.
Condições de contorno razoáveis: c_A(x,0)=c_s (concentração de saturação na superfície), \lim_{y\to\infty}c_A(x,y)=c_\infty, c_A(0,y)=c_\infty para y>0; condição a jusante \lim_{x\to\infty}\partial c_A/\partial x=0 (ou solução limitada).