An early mass-transfer study of oxygen transport in human tissue won a Nobel prize for August Krough. By considering a tissue cylinder surrounding each blood vessel, he proposed the diffusion of oxygen away from the blood vessel into the annular tissue was accompanied by a zero-order reaction, that is, R_{A}=-m, where m is a constant. This reaction was necessary
to explain the metabolic consumption of the oxygen to produce carbon dioxide.
Use the general differential equation for mass transfer of oxygen to write the specific differential equation that will describe the diffusion of oxygen in the human tissue. What would be the form of Flicks relationship written in terms of only the diffusing oxygen?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Escrever a equação diferencial específica que descreve a difusão do oxigênio no tecido, a partir da equação geral de balanço de massa, sabendo que a reação é de ordem zero R_A=-m (com m constante).
  2. Escrever a relação de Fick expressa apenas em função do oxigênio em difusão (ou seja, sem termos convectivos).
Informações dadas e itens relevantes:
  • Geometria: um cilindro de tecido ao redor de um vaso sanguíneo (geometria cilíndrica com simetria radial).
  • Reação química: consumo de oxigênio de ordem zero, R_A=-m.
  • Queremos a equação diferencial que governa a distribuição de concentração de oxigênio C_A no tecido e a forma de Fick para o fluxo puro por difusão.

Passo 2

Escrever a equação geral de conservação de espécie (forma local) e explicar cada termo. A forma geral da conservação de concentração de uma espécie A é
\frac{\partial C_A}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{N}_A = R_A,
onde:
  • \,C_A(\mathbf{x},t)\, é a concentração molar do oxigênio (unidade típica: \mathrm{mol\,m^{-3}}),
  • \,\mathbf{N}_A\, é o fluxo molar vetorial de A (unidade: \mathrm{mol\,m^{-2}s^{-1}}),
  • \,R_A\, é a taxa de produção/consumo volumétrica da espécie A (unidade: \mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}; aqui será negativa porque é consumo).
Explicação de como o fluxo se decompõe: o fluxo total normalmente pode ter parte convectiva e parte difusiva. A lei de Fick (primeira lei) dá a parte difusiva. Escrevemos a expressão geral do fluxo como
\mathbf{N}_A = C_A\mathbf{v} + \mathbf{J}_A,
com \mathbf{v} velocidade do fluido (se houver) e \mathbf{J}_A o fluxo difusivo. A primeira lei de Fick (forma comum para difusão molecular) é
\mathbf{J}_A = -D_{AB}\,\nabla C_A,
onde \,D_{AB}\, é o coeficiente de difusão do oxigênio no tecido (assumido constante).

Passo 3

Fazer as hipóteses apropriadas para o modelo de Krogh (explicitar porque podemos simplificar). Hipóteses típicas e razoáveis para essa situação:
  • Não há escoamento convectivo importante no tecido ao redor do vaso: \mathbf{v}=\mathbf{0}. Assim o fluxo total é apenas difusivo.
  • Difusividade constante espacialmente: D_{AB}=D constante.
  • Simetria cilíndrica radial ao redor do vaso (não há variação angular nem axial relevante): dependência somente de r.
  • Consideramos o estado estacionário (situação de regime permanente), que é a hipótese clássica de Krogh: \partial C_A/\partial t = 0. (Se você precisasse do caso transiente, eu mostraria a forma com \partial C_A/\partial t conservada — aqui adotamos estacionário por ser o caso usual no modelo de Krogh.)
Com essas hipóteses, a equação de conservação fica, antes de colocar coordenadas:
\nabla\cdot(-D\nabla C_A)=R_A.

Passo 4

Passar para coordenadas cilíndricas com simetria radial. O operador divergente do gradiente (Laplaciano) para função dependente só de r é
\nabla\cdot\nabla C_A = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dC_A}{dr}\right).
Substituindo e usando R_A=-m e D constante, obtemos a equação diferencial específica (no regime estacionário):
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dC_A}{dr}\right)=\frac{m}{D}.
Se quisermos escrever com o termo de difusão multiplicando explicitamente:
D\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dC_A}{dr}\right)-m=0.
Aqui:
  • \,C_A(r)\, é a concentração de oxigênio como função do raio r,
  • \,m\, é a taxa volumétrica de consumo (constante, unidades \mathrm{mol\,m^{-3}s^{-1}}),
  • \,D\, é o coeficiente de difusão ( \mathrm{m^{2}s^{-1}}).
Observação didática curta sobre integrações: essa equação é uma ODE em r de segunda ordem e pode ser integrada duas vezes para obter C_A(r) usando condições de contorno (por exemplo C_A(r_v)=C_{A,\text{vaso}} e condição no raio externo do cilindro). Mas como o enunciado pediu apenas a equação diferencial, não resolvi a ODE aqui.

Passo 5

Escrever a relação de Fick ligada somente ao oxigênio (ou seja, sem termos convectivos). A forma vetorial da 1ª lei de Fick (somente difusão) é
\mathbf{N}_A = -D\,\nabla C_A.
Na geometria radial com simetria, o fluxo radial escalar (componente radial do fluxo molar) é
N_{A,r} = -D\,\frac{dC_A}{dr}.
Explicação do que isso significa: N_{A,r} é o fluxo molar de oxigênio atravessando uma superfície cilíndrica de raio r por unidade de área normal; o sinal negativo indica que o fluxo ocorre na direção de decrescimento de concentração (fluxo do vaso para o tecido, tipicamente).

Resposta

D\displaystyle\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dC_A}{dr}\right)-m=0
\mathbf{N}_A=-D\,\nabla C_A \quad (em simetria radial: \;N_{A,r}=-D\displaystyle\frac{dC_A}{dr}\;)

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