25.4 A hemispherical droplet of liquid water, lying on a flat surface, evaporates by molecular diffusion through still air surrounding the droplet. The droplet initially has a radius R. As the liquid water slowly evaporates, the droplet shrinks slowly with time, but the flux of the water vapor is at a nominal steady state. The temperature of the droplet and the surrounding still air are kept constant. The air contains water vapor at an infinitely long distance from the droplet’s surface.
a. After drawing a picture of the physical process, select a coordinate system that will best describe this diffusion
process, list at least five reasonable assumptions for the mass-transfer aspects of the water-evaporation process and simplify the general differential equation for mass transfer in terms of the flux N_{A}.
b. What is the simplified differential form of Fick’s equation for water vapor (species A)?

Passo 1

O enunciado descreve um gotícula hemisférica de água (raio R) assente numa superfície plana que evapora por difusão molecular no ar parado ao redor. A temperatura é mantida constante e o campo de vapor, a uma distância muito grande da gota, tem concentração fixa. O fluxo de vapor está em um estado nominalmente estacionário enquanto a gota encolhe lentamente.
Perguntas do enunciado: (a) escolher um sistema de coordenadas apropriado, listar pelo menos cinco suposições razoáveis para o processo de transferência de massa e simplificar a equação geral de conservação de massa em termos do fluxo N_A; (b) escrever a forma diferencial simplificada da equação de Fick para o vapor de água (espécie A).
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado: \;R (raio inicial da hemisfera), ar parado (sem convecção macroscópica), temperatura constante, condição de concentração no infinito (concentração conhecida c_{A,\infty}), e condição de concentração na superfície da gota (concentração de vapor saturado c_{A,s}). Nenhuma outra imagem adicional foi fornecida.

Passo 2

Escolha do sistema de coordenadas e descrição física (com intuição):
  • Vou colocar a origem do sistema de coordenadas no centro da esfera imaginária da qual a gota é exatamente a meia-esfera (isso significa que a face plana da hemisfera fica no plano z=0 e a parte curva fica para z>0). Assim o contorno da gota é dado por r=R para ângulos polares 0\le\theta\le\pi/2.
  • Esse sistema torna o problema axisimétrico em torno do eixo vertical ( z-axis), então usar coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) é natural. Para difusão no ar acima da superfície, a maior simetria é dependência apenas de r (aproximação radial) se desprezarmos efeitos de contorno na face plana; com essa aproximação o problema reduz-se efetivamente a uma equação radial em r para r\ge R.
  • Intuição prática: bem longe da gota a superfície plana não importa; perto da gota o escoamento é essencialmente radial saindo da superfície curva. Essa escolha de coordenadas facilita muito a escrita do operador divergente e a integração.

Passo 3

Lista de suposições razoáveis (pelo menos cinco), com explicação curta para cada uma (essas suposições são importantes para simplificar as equações na prova):
  1. Estado estacionário para o campo de vapor: \partial c_A/\partial t=0. Explicação: a gota encolhe muito lentamente comparado ao tempo que o campo de concentração atinge seu perfil estacionário.
  2. Ar parado (sem convecção natural ou forçada): transporte por difusão molecular dominante. Explicação: o enunciado diz “still air”; assim podemos ignorar termos convectivos \mathbf{v}c_A.
  3. Difusão binária com coeficiente de difusão constante: D_{AB} constante no domínio de interesse. Explicação: temperatura fixa e concentrações relativamente baixas justificam D_{AB}\simeq constante.
  4. Gás ideal e diluição do vapor na mistura (ou seja, variação de densidade negligenciável para a formulação de Fick em concentração molar): podemos usar concentração molar c_A e não precisamos considerar acoplamento massa-impulso.
  5. Superfície plana impermeável sob a gota (substrato não absorve vapor) e simetria axial: o fluxo só sai para cima e para os lados, não entra através do substrato; permite tratar apenas o meio acima do plano.
  6. Sem reações químicas no gás: o vapor de água não reage com o ar.
    Essas suposições são típicas e justificam reduzir a equação geral de conservação a uma forma muito simples.

Passo 4

Equação geral de conservação de massa para a espécie A (forma diferencial genérica) e sua simplificação sob estado estacionário:
A equação geral de conservação (continuidade de A) é
\frac{\partial c_A}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{N}_A = R_A,
onde c_A é a concentração molar da espécie A ( \text{mol}\,\text{m}^{-3}), \mathbf{N}_A é o fluxo molar vetorial de A ( \text{mol}\,\text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}) e R_A é taxa volumétrica de produção (aqui R_A=0 porque não há reação). Pelas suposições de estado estacionário e R_A=0, obtemos
\nabla\cdot \mathbf{N}_A = 0.
Isso significa que o campo de fluxo é solenoidal (sem fontes volumétricas) no domínio gasoso.

Passo 5

Escrever a equação \nabla\cdot\mathbf{N}_A=0 em coordenadas esféricas assumindo apenas componente radial do fluxo (simetria radial):
Em coordenadas esféricas, a divergência de um campo que tem apenas componente radial N_{A,r}(r) é
\nabla\cdot\mathbf{N}_A = \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2 N_{A,r}\right).
A condição \nabla\cdot\mathbf{N}_A=0 torna-se então a equação ordinária simples
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2 N_{A,r}\right)=0,
para r\ge R (na região de ar acima da gota). Esta é a forma simplificada da equação de conservação escrita em termos do fluxo N_A.

Passo 6

Integração da equação do passo anterior e interpretação física:
Integrando \frac{d}{dr}\!\left(r^2 N_{A,r}\right)=0 obtemos
r^2 N_{A,r} = C,
onde C é constante (independente de r). Portanto o componente radial do fluxo é
N_{A,r}(r) = \frac{C}{r^2}.
Interpretação: a quantidade molar que atravessa uma esfera de raio r é constante (não há acumulação nem produção), então o fluxo por unidade de área decai como 1/r^2.

Passo 7

Relacionar o fluxo com a concentração usando a Lei de Fick (aqui já vamos preparar a parte (b) também):
A forma diferencial da primeira lei de Fick, que relaciona fluxo e gradiente de concentração, é
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla c_A,
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão do vapor de água na mistura ar (unidade \text{m}^2\text{s}^{-1}). Em forma radial (apenas componente radial):
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\,\frac{dc_A}{dr}.
Combinar com N_{A,r}(r)=C/r^2 dá a equação diferencial para c_A:
- D_{AB}\,\frac{dc_A}{dr} = \frac{C}{r^2}.

Passo 8

Integrar para obter o perfil de concentração e aplicar condições na superfície e no infinito:
Integrando -D_{AB}\,dc_A/dr = C/r^2,
\frac{dc_A}{dr} = -\frac{C}{D_{AB}}\frac{1}{r^2} \quad\Longrightarrow\quad c_A(r) = \frac{C}{D_{AB}}\frac{1}{r} + B,
onde B é outra constante de integração. Usando as condições de contorno: c_A(r\to\infty)=c_{A,\infty} implica B=c_{A,\infty}. Na superfície r=R temos c_A(R)=c_{A,s} (concentração de vapor saturado na superfície). Assim
c_{A,s} = \frac{C}{D_{AB}}\frac{1}{R} + c_{A,\infty}
de onde
C = D_{AB}\,R\,(c_{A,s}-c_{A,\infty}).

Passo 9

Expressão final para o fluxo radial e para o fluxo na superfície; comentário sobre hemisfera vs esfera inteira:
Substituindo C em N_{A,r}(r)=C/r^2 temos
N_{A,r}(r) = D_{AB}\,R\,(c_{A,s}-c_{A,\infty})\frac{1}{r^2}.
Em particular, no ponto da superfície ( r=R)
N_{A,r}(R) = D_{AB}\,\frac{c_{A,s}-c_{A,\infty}}{R}.
Esse é o fluxo molar por unidade de área saindo da superfície (positivo para evaporação quando c_{A,s}>c_{A,\infty}).
Observação sobre a gota ser hemisférica: a expressão acima para N_{A,r}(R) foi obtida assumindo simetria radial. A taxa molar total de evaporação \dot{n}_A obtida integrando o fluxo sobre a meia-superfície curva (apenas a parte superior, área 2\pi R^2 para a hemisfera) dá
\dot{n}_A = \iint_{\text{superf. curva}} N_{A,r}(R)\,dA = N_{A,r}(R)\cdot 2\pi R^2 = 2\pi R D_{AB}\,(c_{A,s}-c_{A,\infty}).
(Compare isso com uma esfera completa, cuja área é 4\pi R^2 e cuja taxa total seria 4\pi R D_{AB}(c_{A,s}-c_{A,\infty}); a hemisfera dá metade.)

Passo 10

Resumo didático curto (relembrando o que cada símbolo significa, para a prova):
  • c_A(r): concentração molar do vapor de água ( \text{mol}\,\text{m}^{-3}).
  • \mathbf{N}_A ou N_{A,r}: fluxo molar de A ( \text{mol}\,\text{m}^{-2}\,\text{s}^{-1}).
  • D_{AB}: coeficiente de difusão molecular do vapor de água no ar ( \text{m}^2\text{s}^{-1}).
  • c_{A,s}: concentração de vapor na superfície (saturada).
  • c_{A,\infty}: concentração de vapor longe da gota.
    Use \nabla\cdot \mathbf{N}_A=0 (conservação) + \mathbf{N}_A=-D_{AB}\nabla c_A (Fick) + simetria esférica para obter as fórmulas que você vai aplicar rápido na prova.

Resposta

(a) Sistema de coordenadas: coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com origem no centro da esfera imaginária da qual a gota é meia-esfera; suposições: estado estacionário ( \partial c_A/\partial t=0), ar parado (sem convecção), D_{AB} constante, vapor diluído (gás ideal), substrato impermeável, sem reações; equação simplificada de conservação em termos do fluxo:
\frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\!\left(r^2 N_{A,r}\right)=0,
com solução
N_{A,r}(r)=D_{AB}\,R\,(c_{A,s}-c_{A,\infty})\frac{1}{r^2}, \quad N_{A,r}(R)=D_{AB}\frac{c_{A,s}-c_{A,\infty}}{R}.
(b) Forma diferencial simplificada da lei de Fick (vetorial e radial):
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla c_A, \qquad N_{A,r} = -D_{AB}\frac{dc_A}{dr}.

Exercícios relacionados