3.5 Um oscilador harmônico não amortecido possui massa m=6 \mathrm{~kg} e rigidez desconhecida. Executou-se um teste com uma força harmônica de amplitude F_{0}=1 \mathrm{kN} e freqüência \omega=250 \mathrm{rad} / \mathrm{s} e a amplitude de vibração medida foi 2,5 \mathrm{~mm}. Determinar a rigidez da mola.

Passo 1

O enunciado dá um oscilador harmônico não amortecido com massa m=6\\ \mathrm{kg}, rigidez k desconhecida, excitado por uma força harmônica de amplitude F_{0}=1\,000\\ \mathrm{N} e frequência \omega=250\\ \mathrm{rad/s}. A resposta dinâmica em regime permanente tem amplitude X=2{,}5\\ \mathrm{mm}=0{,}0025\\ \mathrm{m}. Para um sistema sem amortecimento, a amplitude está dada por
X=\Bigl|\frac{F_{0}/k}{1-\dfrac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}}\Bigr|
onde \omega_{n}=\sqrt{k/m} é a frequência natural.

Passo 2

Como a rigidez deve ser positiva e obteremos resultado consistente apenas se \omega<\omega_{n} (denominador positivo), podemos escrever sem valor absoluto:
X=\frac{F_{0}/k}{1-\dfrac{\omega^{2}}{\omega_{n}^{2}}} =\frac{F_{0}/k}{1-\dfrac{\omega^{2}m}{k}} =\frac{F_{0}}{\,k - m\,\omega^{2}\,}\,.

Passo 3

Isolando k da equação
X=\frac{F_{0}}{k - m\,\omega^{2}}
temos
k - m\,\omega^{2}=\frac{F_{0}}{X} \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{F_{0}}{X}+m\,\omega^{2}\,.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
\frac{F_{0}}{X}=\frac{1000}{0{,}0025}=400\,000, \qquad m\,\omega^{2}=6\times(250)^{2}=6\times62\,500=375\,000,
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k=400\,000+375\,000=775\,000\\ \mathrm{N/m}\,.

Passo 5

Verificamos que com esse k,
\omega_{n}=\sqrt{\frac{k}{m}} =\sqrt{\frac{775\,000}{6}}\approx360\\ \mathrm{rad/s},
e de fato \omega=250<360, condição consistente para usarmos a forma sem valor absoluto.

Resposta

k=7,75\times10^{5}\\ \mathrm{N/m}

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