( 25 pontos) Uma bola, cujo volume é 150 \mathrm{~cm}^{3} e sua massa 250 gramas, encontra-se submersa em uma piscina cheia de um líquido de densidade \rho=1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
(a) ( 10 pontos) O empuxo que ela experimenta.
(b) ( 10 pontos) O módulo da força e a direção que seria necessária aplicar para que ela se mantivesse em equilíbrio.
(c) ( 05 pontos) Verifique se a bola flutuaria ou afundaria se tivesse a mesma massa, mas um volume de 300 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados e as perguntas):
  • Dados:
    • Volume da bola: 150\\ \mathrm{cm}^3.
    • Massa da bola: 250\\ \mathrm{g}.
    • Densidade do líquido: \rho=1100\\ \mathrm{kg/m}^3.
  • Perguntas:
    (a) Calcular o empuxo que a bola experimenta quando está totalmente submersa.
    (b) Determinar o módulo e a direção da força que é necessário aplicar para que a bola fique em equilíbrio (isto é, para que não se mova).
    (c) Verificar se a bola flutuaria ou afundaria se tivesse a mesma massa ( 250\\ \mathrm{g}) mas volume 300\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 2

Primeiro vamos colocar tudo em unidades SI (porque as fórmulas de força usam o Sistema Internacional) e fixar g.
  • Massa: 250\\ \mathrm{g} = 0{,}250\\ \mathrm{kg}.
  • Volume inicial: 150\\ \mathrm{cm}^3 = 150\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Volume no item (c): 300\\ \mathrm{cm}^3 = 300\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^3 = 3{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3.
  • Aceleração da gravidade: vou usar g=9{,}8\\ \mathrm{m/s}^2.
Explicação rápida da conversão de volume: 1\\ \mathrm{cm}^3=(10^{-2}\\ \mathrm{m})^3=10^{-6}\\ \mathrm{m}^3. Por isso multiplicamos por 10^{-6}.

Passo 3

Vamos lembrar e aprender a usar o princípio de Arquimedes (a fórmula do empuxo).
  • Princípio de Arquimedes (em palavras): o empuxo sobre um corpo totalmente imerso é igual ao peso do fluido deslocado.
  • Fórmula do empuxo:
F_{\text{emp}}=\rho\,V\,g,
onde:
  • \rho é a densidade do fluido (em \mathrm{kg/m}^3),
  • V é o volume do corpo imerso (em \mathrm{m}^3),
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s}^2).
    Cada símbolo representa uma grandeza física: \rho (quanto “pesado” é o líquido por volume), V (quanto volume do líquido foi empurrado para fora) e g (converte massa em peso/força).
Aplicando para o caso da bola com V=1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3:
F_{\text{emp}}=1100\cdot 1{,}50\times10^{-4}\cdot 9{,}8.
Calcule passo a passo:
  • 1100\cdot 1{,}50\times10^{-4}=0{,}165.
  • 0{,}165\cdot 9{,}8=1{,}617.
    Logo
F_{\text{emp}}=1{,}617\\ \mathrm{N}.
Arredondando a duas casas significativas úteis, F_{\text{emp}}\approx 1{,}62\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Agora calculamos o peso da bola (força peso), que é necessário para comparar com o empuxo.
  • Fórmula do peso:
W = m g,
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e g a aceleração da gravidade.
Com m=0{,}250\\ \mathrm{kg}:
W=0{,}250\cdot 9{,}8 = 2{,}45\\ \mathrm{N}.
Explicação conceitual: se o empuxo for menor que o peso, a resultante aponta para baixo (a bola tende a afundar). Se o empuxo for maior que o peso, a resultante aponta para cima (a bola tende a subir).

Passo 5

Comparamos empuxo e peso e achamos a força a aplicar para equilíbrio (item b).
  • Empuxo encontrado: F_{\text{emp}}=1{,}617\\ \mathrm{N}.
  • Peso: W=2{,}45\\ \mathrm{N}.
A resultante (força líquida) quando a bola está submersa é
F_{\text{res}} = F_{\text{emp}} - W = 1{,}617 - 2{,}45 = -0{,}833\\ \mathrm{N}.
O sinal negativo, no jogo de sinais adotado (para cima positivo), indica que a força resultante é dirigida para baixo com módulo 0{,}833\\ \mathrm{N}. Em palavras: o peso supera o empuxo e a bola tende a afundar com uma força líquida de 0{,}833\\ \mathrm{N} para baixo.
Para mantê-la em equilíbrio (sem movimento), é preciso aplicar uma força externa que cancele essa resultante. Como a resultante está para baixo, devemos aplicar uma força adicional para cima de mesmo módulo:
F_{\text{aplicada}} = W - F_{\text{emp}} = 0{,}833\\ \mathrm{N},
direção: para cima (ou seja, a força aplicada deve ser dirigida para cima com módulo 0{,}833\\ \mathrm{N}). Intuitivamente: segure a bola por baixo com uma força de 0{,}833\\ \mathrm{N} para impedir que ela afunde.

Passo 6

Verificação alternativa usando densidades (útil para entender flutuação — dica para prova).
  • Densidade média da bola: \rho_{\text{bola}} = \dfrac{m}{V}.
    Para V=1{,}50\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3:
\rho_{\text{bola}}=\dfrac{0{,}250}{1{,}50\times10^{-4}} \approx 1666{,}7\\ \mathrm{kg/m}^3.
Comparando com \rho_{\text{líquido}}=1100\\ \mathrm{kg/m}^3í: a bola é mais densa que o líquido, então ela tende a afundar — confirma os cálculos acima.

Passo 7

Agora resolvemos o item (c) com V=3{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3 (mesma massa 0{,}250\\ \mathrm{kg}).
  • Empuxo para V=3{,}00\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^3:
F_{\text{emp,2}}=1100\cdot 3{,}00\times10^{-4}\cdot 9{,}8.
Calcule:
  • 1100\cdot 3{,}00\times10^{-4}=0{,}33.
  • 0{,}33\cdot 9{,}8=3{,}234.
    Logo
F_{\text{emp,2}}=3{,}234\\ \mathrm{N}\approx 3{,}23\\ \mathrm{N}.
Peso da bola continua W=2{,}45\\ \mathrm{N}. Agora F_{\text{emp,2}}>W, ou seja, o empuxo é maior que o peso: haverá uma força líquida para cima e a bola subiria (não afundaria). Em termos de densidade:
\rho_{\text{bola,2}}=\dfrac{0{,}250}{3{,}00\times10^{-4}}\approx 833{,}3\\ \mathrm{kg/m}^3,
que é menor que 1100\\ \mathrm{kg/m}^3 — portanto a bola flutuaria (subiria até ficar parcialmente fora d’água até equilíbrio).

Resposta

(a) F_{\text{emp}}=1{,}62\\ \mathrm{N}.
(b) Força de módulo 0{,}833\\ \mathrm{N} dirigida para cima.
(c) Com V=300\\ \mathrm{cm}^3 a bola flutuaria (empuxo \approx 3{,}23\\ \mathrm{N} > peso 2{,}45\\ \mathrm{N}).

Exercícios relacionados