Questão 08) Determine as fórmulas dimensionais das seguintes grandezas: permissividade elétrica
, constante eletrostatica
, constante de Planck
e constante de Rydberg
.
Passo 1
O que o problema pede: determinar as fórmulas dimensionais (em termos das grandezas fundamentais) das seguintes constantes:
- permissividade elétrica do vácuo
; - constante eletrostática
(aquela que aparece na lei de Coulomb como ); - constante de Planck
; - constante de Rydberg
.
Informações relevantes (o que vamos precisar conhecer ou lembrar para resolver):
- as grandezas de base que usaremos são massa, comprimento, tempo e corrente elétrica, representadas por
; - carga elétrica tem dimensão relacionada à corrente elétrica: a carga
tem dimensão porque ; - a lei de Coulomb relaciona força com cargas e distância (essa relação será usada para
e ); - a relação fóton-energia e frequência
(essa será usada para ); - a constante de Rydberg aparece em fórmulas do tipo
ou , o que dá pista direta da sua dimensão.
Passo 2
Breve aula rápida sobre análise dimensional (passo didático): o objetivo é expressar a dimensão de uma grandeza física como produto de potências das dimensões fundamentais
. Notação: quando escrevo
quero dizer "dimensão de
". Exemplos úteis que vamos usar:
- Força:
(porque força tem unidades de newton ); - Energia:
(joule ); - Frequência:
; - Carga elétrica:
(porque corrente tempo = carga).
Vou usar essas dimensões básicas passo a passo nas constantes pedidas.
Passo 3
Determinação da dimensão de
(permissividade elétrica).
A lei de Coulomb (forma prática) diz:
onde
é força,
são cargas e
é distância. Sabendo que
, reescrevo isolando
:
Agora passo às dimensões. As constantes adimensionais como
não mudam dimensões, então
Substituo as dimensões conhecidas:
,
. Assim
Simplificando as potências de
:
Interpretação prática:
tem dimensão que combina corrente ao quadrado e tempo à quarta no numerador, e massa e comprimento no denominador — resultado típico para constantes elétricas no SI.
Passo 4
Determinação da dimensão de
(constante eletrostática).
Como já usamos,
. Logo a dimensão de
é o inverso da dimensão de
(constante adimensional não altera):
Usando o resultado anterior:
Ou de forma explícita:
Passo 5
Determinação da dimensão da constante de Planck
.
A relação fundamental que define
é a relação energia–frequência:
onde
é energia e
é frequência. Isolando
:
Dimensionalmente:
Substituo
e
:
Comentário prático: em unidades SI isso corresponde a joule-segundo
, consistente com o que se aprende em física.
Passo 6
Determinação da dimensão da constante de Rydberg
.
Existem duas maneiras simples de ver a dimensão. Uma forma direta é lembrar da fórmula espectral de Rydberg:
onde
é comprimento de onda; daí
tem dimensão de comprimento inverso, logo
Outra forma (equivalente) usa a energia de um fóton associado a transição:
. Isolando
temos
. Como
,
e
, então
confirmando que
tem dimensão de inverso de comprimento.
Passo 7
Resumo e checagem rápida (motivação para a prova): as dimensões obtidas são coerentes com as fórmulas físicas usadas (Coulomb para
, relação
para
, e relação espectral para
). Anota essas formas na folha de “cola mental” e confia no raciocínio por análise dimensional — é uma ferramenta rapidinha e infalível para checar se uma expressão faz sentido.