Questão 08) Determine as fórmulas dimensionais das seguintes grandezas: permissividade elétrica \left(\varepsilon_{0}\right), constante eletrostatica \left(k_{0}\right), constante de Planck (h) e constante de Rydberg \left(R_{H}\right).

Passo 1

O que o problema pede: determinar as fórmulas dimensionais (em termos das grandezas fundamentais) das seguintes constantes:
  • permissividade elétrica do vácuo \varepsilon_{0};
  • constante eletrostática \,k_{0}\, (aquela que aparece na lei de Coulomb como k_{0}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}});
  • constante de Planck h;
  • constante de Rydberg R_{H}.
Informações relevantes (o que vamos precisar conhecer ou lembrar para resolver):
  • as grandezas de base que usaremos são massa, comprimento, tempo e corrente elétrica, representadas por M,\;L,\;T,\;I;
  • carga elétrica tem dimensão relacionada à corrente elétrica: a carga Q tem dimensão [Q]=[I][T] porque Q=I\cdot t;
  • a lei de Coulomb relaciona força com cargas e distância (essa relação será usada para \varepsilon_0 e k_0);
  • a relação fóton-energia e frequência E=h\nu (essa será usada para h);
  • a constante de Rydberg aparece em fórmulas do tipo \dfrac{1}{\lambda}=R_{H}\big(\cdots\big) ou E=h c R_{H}, o que dá pista direta da sua dimensão.

Passo 2

Breve aula rápida sobre análise dimensional (passo didático): o objetivo é expressar a dimensão de uma grandeza física como produto de potências das dimensões fundamentais M,\;L,\;T,\;I. Notação: quando escrevo [X] quero dizer "dimensão de X". Exemplos úteis que vamos usar:
  • Força: [F]=M L T^{-2} (porque força tem unidades de newton \mathrm{N}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-2});
  • Energia: [E]=M L^{2} T^{-2} (joule \mathrm{J}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{s}^{-2});
  • Frequência: [\nu]=T^{-1};
  • Carga elétrica: [Q]=I T (porque corrente \times tempo = carga).
    Vou usar essas dimensões básicas passo a passo nas constantes pedidas.

Passo 3

Determinação da dimensão de \varepsilon_{0} (permissividade elétrica).
A lei de Coulomb (forma prática) diz:
F=\dfrac{k_{0}\,q_{1}q_{2}}{r^{2}}
onde F é força, q_{1},q_{2} são cargas e r é distância. Sabendo que k_{0}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, reescrevo isolando \varepsilon_{0}:
\varepsilon_{0}=\dfrac{1}{4\pi}\,\dfrac{q_{1}q_{2}}{F\,r^{2}}.
Agora passo às dimensões. As constantes adimensionais como 4\pi não mudam dimensões, então
[\varepsilon_{0}]=\dfrac{[Q]^{2}}{[F]\,[L]^{2}}.
Substituo as dimensões conhecidas: [Q]=I T, [F]=M L T^{-2}. Assim
[\varepsilon_{0}]=\dfrac{(I T)^{2}}{(M L T^{-2})\;L^{2}}=\dfrac{I^{2}T^{2}}{M L^{3} T^{-2}}.
Simplificando as potências de T:
[\varepsilon_{0}]=M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}.
Interpretação prática: \varepsilon_{0} tem dimensão que combina corrente ao quadrado e tempo à quarta no numerador, e massa e comprimento no denominador — resultado típico para constantes elétricas no SI.

Passo 4

Determinação da dimensão de k_{0} (constante eletrostática).
Como já usamos, k_{0}=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}. Logo a dimensão de k_{0} é o inverso da dimensão de \varepsilon_{0} (constante adimensional não altera):
[k_{0}]=[\varepsilon_{0}]^{-1}.
Usando o resultado anterior:
[k_{0}]=M^{1}L^{3}T^{-4}I^{-2}.
Ou de forma explícita:
[k_{0}]=M L^{3} T^{-4} I^{-2}.

Passo 5

Determinação da dimensão da constante de Planck h.
A relação fundamental que define h é a relação energia–frequência:
E=h\,\nu,
onde E é energia e \nu é frequência. Isolando h:
h=\dfrac{E}{\nu}.
Dimensionalmente:
[h]=\dfrac{[E]}{[\nu]}.
Substituo [E]=M L^{2} T^{-2} e [\nu]=T^{-1}:
[h]=\dfrac{M L^{2} T^{-2}}{T^{-1}}=M L^{2} T^{-1}.
Comentário prático: em unidades SI isso corresponde a joule-segundo (\mathrm{J}\cdot\mathrm{s}), consistente com o que se aprende em física.

Passo 6

Determinação da dimensão da constante de Rydberg R_{H}.
Existem duas maneiras simples de ver a dimensão. Uma forma direta é lembrar da fórmula espectral de Rydberg:
\dfrac{1}{\lambda}=R_{H}\left(\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{m^{2}}\right),
onde \lambda é comprimento de onda; daí \dfrac{1}{\lambda} tem dimensão de comprimento inverso, logo
[R_{H}]=L^{-1}.
Outra forma (equivalente) usa a energia de um fóton associado a transição: E=h c R_{H}. Isolando R_{H} temos R_{H}=E/(h c). Como [E]=M L^{2} T^{-2}, [h]=M L^{2} T^{-1} e [c]=L T^{-1}, então
[R_{H}]=\dfrac{M L^{2} T^{-2}}{(M L^{2} T^{-1})(L T^{-1})}=L^{-1},
confirmando que R_{H} tem dimensão de inverso de comprimento.

Passo 7

Resumo e checagem rápida (motivação para a prova): as dimensões obtidas são coerentes com as fórmulas físicas usadas (Coulomb para \varepsilon_0,k_0, relação E=h\nu para h, e relação espectral para R_H). Anota essas formas na folha de “cola mental” e confia no raciocínio por análise dimensional — é uma ferramenta rapidinha e infalível para checar se uma expressão faz sentido.

Resposta

\varepsilon_{0}:M^{-1}L^{-3}T^{4}I^{2}
k_{0}:M L^{3}T^{-4}I^{-2}
h:M L^{2}T^{-1}
R_{H}:L^{-1}

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