Considere uma piscina com 5,0 \mathrm{~m} de comprimento, 4,0 de largura e 3,0 \mathrm{~m} de profundidade. Determine a Força exercida pela água sobre
a parede lateral maior da piscina.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Determinar a força exercida pela água sobre a parede lateral maior da piscina.
Informações fornecidas (pego do enunciado):
  • comprimento da piscina (comprimento da parede maior): L=5,0\\ \mathrm{m}.
  • largura da piscina: 4,0\\ \mathrm{m} (não é usada para a parede lateral maior).
  • profundidade (altura da parede): H=3,0\\ \mathrm{m}.
Observação importante sobre a parede que vamos considerar: a “parede lateral maior” tem dimensões verticais H (altura = profundidade da água) e horizontal L (comprimento da piscina), então a área da face é A=L\cdot H. O enunciado pede a força resultante da água sobre essa face.

Passo 2

Conceitos básicos e fórmula da pressão em um fluido em equilíbrio:
  • Em um fluido incompressível em repouso, a pressão absoluta a uma profundidade h medida a partir da superfície livre é dada por
p(h)=p_{0}+\rho g h,
onde:
  • p(h) é a pressão absoluta no ponto a profundidade h,
  • p_{0} é a pressão na superfície livre (pressão atmosférica),
  • \rho é a densidade do fluido (para água doce \rho\approx1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • g é a aceleração da gravidade (usar g=9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}),
  • h é a profundidade ( \mathrm{m}) abaixo da superfície.
  • Para calcular a força que a água exerce sobre a parede, usamos a pressão “manométrica” (gauge), pois a pressão atmosférica atua também do lado externo e se cancela quando perguntam pela força da água. Assim usamos
p_{\text{água}}(h)=\rho g h.á

Passo 3

Montando a integral da força sobre a face:
  • Considere um elemento horizontal da parede, de altura infinitesimal dh, localizado a profundidade h da superfície. A largura (horizontal) desse elemento é L.
  • A área desse elemento é dA=L\,dh.
  • A força diferencial sobre esse elemento é dF=p_{\text{água}}(h)\,dA=\rho g h \,L\,dhá.
Portanto a força total na parede é a integral de dF de h=0 (superfície) até h=H (fundo):
F=\int_{0}^{H}\rho g h\,L\,dh=\rho g L\int_{0}^{H}h\,dh.
Calculando a integral:
\int_{0}^{H}h\,dh=\frac{H^{2}}{2},
logo
F=\rho g L\frac{H^{2}}{2}.
Comentário prático (teorema do centroide): para uma superfície plana vertical retangular a força hidrostática resultante também pode ser obtida como a pressão no centroide multiplicada pela área:
F=\bigl(\rho g h_{c}\bigr)A,
onde h_{c}=H/2 é a profundidade do centroide e A=L H. Substituindo obtém-se a mesma expressão acima:
F=\rho g \frac{H}{2}\cdot(L H)=\rho g L\frac{H^{2}}{2}.

Passo 4

Substituindo números e calculando passo a passo:
  • Tomar \rho=1000\\ \mathrm{kg\,m^{-3}} e g=9,81\\ \mathrm{m\,s^{-2}}.
  • Calcular H^{2}/2:
\frac{H^{2}}{2}=\frac{(3,0)^{2}}{2}=\frac{9,0}{2}=4,5\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Calcular L\cdot \dfrac{H^{2}}{2}:
L\frac{H^{2}}{2}=5,0\times 4,5=22,5\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Agora F=\rho g \times 22,5:
F=1000\times 9,81\times 22,5=1000\times 220,725=220725\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente (dados com 2–3 algarismos significativos), temos aproximadamente 2,21\times10^{5}\\ \mathrm{N}.
Observação útil (para a prova): a força resultante age no ponto cujo batimento (linha de ação) fica a uma profundidade h_{c}=H/2=1,5\\ \mathrm{m} abaixo da superfície.

Resposta

F=2,21\times10^{5}\\ \mathrm{N}

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