Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do So ), o qual possui massa
.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade
obtenha a razão entre essa velocideade final
e a velocidade incial
. Ou seja, obtenha
. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
Passo 1
Enunciado resumido e dados fornecidos: \n
- Uma nave de massa
está em uma órbita circular ao redor do Sol, à distância do centro do Sol. \n - A velocidade da nave nessa órbita é
. \n - A massa do Sol é
. (Peguei do enunciado que o corpo central é o Sol e tem massa .) \n
Perguntas pedidas: \n
a) Quando a nave passa depara e está em uma nova órbita circular com velocidade , obter a razão . \n
b) Deduzir uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita (velocidade mínima para escapar da influência gravitacional do Sol) em função dee . \n
Passo 2
Conceito e fórmulas úteis (aulas rápidas e intuitivas): \n
- A força gravitacional entre Sol e nave é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
onde
é a constante gravitacional,
é a massa do Sol,
é a massa da nave e
é a distância entre eles. \n
- Para uma órbita circular, a força que mantém a nave na trajetória é a força centrípeta. A expressão da força centrípeta necessária para uma massa
se mover em círculo de raio com velocidade é:
Explicação:
é a força dirigida para o centro que faz a velocidade mudar de direção continuamente; a fórmula vem da definição de aceleração centrípeta
multiplicada pela massa.
Passo 3
Aplicar equilíbrio força gravitacional = força centrípeta para a órbita original (isso vale porque a órbita é circular e a única força é gravitacional):
Cancelamos
dos dois lados (a massa da nave aparece em ambos os termos) e isolamos
:
Interpretação: esta é a velocidade circular em
. Cada símbolo:
velocidade,
constante,
massa do Sol,
raio da órbita.
Passo 4
Agora fazemos o mesmo para a nova órbita circular de raio
e velocidade
. Substituindo
por
na fórmula de velocidade circular:
Tomando raiz quadrada:
Passo 5
Comparar com a velocidade inicial
obtida no Passo 3. Como
, substituímos:
Portanto a razão procurada é
Intuição rápida: dobrando a distância por um fator
(isto é, raio quadruplicado), a velocidade circular cai pela raiz quadrada de
, ou seja pela metade.
Passo 6
Agora a velocidade de escape: conceito e fórmula de energia. \n
- Energia cinética de uma massa
com velocidade é
- Energia potencial gravitacional, medida no potencial zero no infinito, é
Significado: o sinal negativo indica que o sistema está ligado gravitacionalmente; quanto mais perto (
menor), mais negativa a energia.
Passo 7
Para escapar ao infinito a partir de
com velocidade inicial
, a energia total inicial
deve ser pelo menos zero (o caso limite mínimo é
, que corresponde a chegar ao infinito com velocidade zero). Assim impomos:
Cancelamos
(novamente a massa da nave não entra na velocidade de escape) e isolamos
:
Tomando raiz positiva (velocidade é magnitude):
Passo 8
Relação entre velocidade de escape e velocidade circular: usando
do Passo 3, temos
Isto é útil na prova: a velocidade de escape é simplesmente a velocidade circular multiplicada por
.