Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do So ), o qual possui massa \mathrm{M}_{5}.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r , estando agora a uma velocidade \mathrm{v}_{\mathrm{G}} obtenha a razão entre essa velocideade final v_{t} e a velocidade incial v. Ou seja, obtenha v_{t} / v. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos: \n
  • Uma nave de massa \!m\! está em uma órbita circular ao redor do Sol, à distância \!r\! do centro do Sol. \n
  • A velocidade da nave nessa órbita é \!v\!. \n
  • A massa do Sol é \!M_s\!. (Peguei do enunciado que o corpo central é o Sol e tem massa \!M_s\!.) \n
    Perguntas pedidas: \n
    a) Quando a nave passa de \!r\! para \!4r\! e está em uma nova órbita circular com velocidade \!v_t\!, obter a razão \!v_t / v\!. \n
    b) Deduzir uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita (velocidade mínima para escapar da influência gravitacional do Sol) em função de \!M_s\! e \!r\!. \n

Passo 2

Conceito e fórmulas úteis (aulas rápidas e intuitivas): \n
  • A força gravitacional entre Sol e nave é dada pela Lei da Gravitação Universal de Newton:
F_g=\frac{G\,M_s\,m}{r^2},
onde \!G\! é a constante gravitacional, \!M_s\! é a massa do Sol, \!m\! é a massa da nave e \!r\! é a distância entre eles. \n
  • Para uma órbita circular, a força que mantém a nave na trajetória é a força centrípeta. A expressão da força centrípeta necessária para uma massa \!m\! se mover em círculo de raio \!r\! com velocidade \!v\! é:
F_c=\frac{m\,v^2}{r}.
Explicação: \!F_c\! é a força dirigida para o centro que faz a velocidade mudar de direção continuamente; a fórmula vem da definição de aceleração centrípeta a_c=v^2/r multiplicada pela massa.

Passo 3

Aplicar equilíbrio força gravitacional = força centrípeta para a órbita original (isso vale porque a órbita é circular e a única força é gravitacional):
\frac{G\,M_s\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}.
Cancelamos \!m\! dos dois lados (a massa da nave aparece em ambos os termos) e isolamos \!v^2\!:
v^2=\frac{G\,M_s}{r}.
Interpretação: esta é a velocidade circular em \!r\!. Cada símbolo: \!v\! velocidade, \!G\! constante, \!M_s\! massa do Sol, \!r\! raio da órbita.

Passo 4

Agora fazemos o mesmo para a nova órbita circular de raio \!4r\! e velocidade \!v_t\!. Substituindo \!r\! por \!4r\! na fórmula de velocidade circular:
v_t^2=\frac{G\,M_s}{4r}.
Tomando raiz quadrada:
v_t=\sqrt{\frac{G\,M_s}{4r}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G\,M_s}{r}}.

Passo 5

Comparar com a velocidade inicial \!v\! obtida no Passo 3. Como \!v=\sqrt{\dfrac{G\,M_s}{r}}\!, substituímos:
v_t=\frac{1}{2}v.
Portanto a razão procurada é
\frac{v_t}{v}=\frac{1}{2}.
Intuição rápida: dobrando a distância por um fator \!4\! (isto é, raio quadruplicado), a velocidade circular cai pela raiz quadrada de \!4\!, ou seja pela metade.

Passo 6

Agora a velocidade de escape: conceito e fórmula de energia. \n
  • Energia cinética de uma massa \!m\! com velocidade \!v\! é
K=\frac{1}{2}m v^2.
  • Energia potencial gravitacional, medida no potencial zero no infinito, é
U=-\frac{G\,M_s\,m}{r}.
Significado: o sinal negativo indica que o sistema está ligado gravitacionalmente; quanto mais perto ( \!r\! menor), mais negativa a energia.

Passo 7

Para escapar ao infinito a partir de \!r\! com velocidade inicial \!v_{esc}\!, a energia total inicial E=K+U deve ser pelo menos zero (o caso limite mínimo é E=0, que corresponde a chegar ao infinito com velocidade zero). Assim impomos:
\frac{1}{2}m v_{esc}^2 - \frac{G\,M_s\,m}{r}=0.
Cancelamos \!m\! (novamente a massa da nave não entra na velocidade de escape) e isolamos \!v_{esc}^2\!:
\frac{1}{2}v_{esc}^2=\frac{G\,M_s}{r}\quad\Rightarrow\quad v_{esc}^2=\frac{2G\,M_s}{r}.
Tomando raiz positiva (velocidade é magnitude):
v_{esc}=\sqrt{\frac{2G\,M_s}{r}}.

Passo 8

Relação entre velocidade de escape e velocidade circular: usando \!v=\sqrt{\dfrac{G\,M_s}{r}}\! do Passo 3, temos
v_{esc}=\sqrt{2}\,v.
Isto é útil na prova: a velocidade de escape é simplesmente a velocidade circular multiplicada por \!\sqrt{2}\!.

Resposta

\displaystyle \frac{v_t}{v}=\tfrac{1}{2} \n
\displaystyle v_{esc}=\sqrt{\frac{2G\,M_s}{r}} = \sqrt{2}\,v

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