Questão 10 | Não respondido Vale 1,00 ponto(s).
Um sinal nervoso é transmitido através de um neurônio quando um excesso de íons de Na+ (cada um com carga +e) entram subitamente no axônio, uma parte longa e cilíndrica do neurônio. Durante este processo podemos aproximar um axiônio por uma carga pontual contendo um total de \mathrm{n}=4,10 \mathrm{e}+07 íons de Na+. Alguns tubarões podem responder à campos elétricos tão fracos quanto \mathrm{E}=1,02 \mathrm{e}-06 \mathrm{~N} / \mathrm{C}. A que distância, em metros, do axônio o tubarão pode ficar e ainda detectar seu campo elétrico? Use k=9 \times 10^{9} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{2} / \mathrm{C}^{2}.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a que distância, em metros, do axônio o tubarão consegue detectar seu campo elétrico, isto é, encontrar r tal que o campo elétrico produzido pelo axônio tenha magnitude igual a \mathrm{E}=1,02\times10^{-6}\\ \mathrm{N/C}.
Informações dadas:
n = 4,10\times10^{7}\quad\text{(número de íons Na\(^{+}\))}úí
\mathrm{E} = 1,02\times10^{-6}\\ \mathrm{N/C}
k = 9,00\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}
Cada íon Na ^{+} tem carga igual à carga elementar
e = 1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}.
Observação: o axônio está sendo aproximado por uma carga pontual contendo um total Q de carga (produto de n por e). A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Conceito e fórmula que usamos: o campo elétrico (magnitude) criado por uma carga pontual Q a uma distância r é dado pela lei de Coulomb para campo elétrico:
E = \frac{k\,Q}{r^{2}}.
Explicação das variáveis:
  • E é a magnitude do campo elétrico em \mathrm{N/C}.
  • k é a constante eletrostática, aqui k=9,00\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}.
  • Q é a carga elétrica total em coulombs ( \mathrm{C}).
  • r é a distância do ponto até a carga pontual, em metros ( \mathrm{m}).
Aqui Q vem do número de íons multiplicado pela carga de cada íon:
Q = n \cdot e.

Passo 3

Isolamos r na fórmula para obter a distância onde o campo tem magnitude E. Partindo de
E = \frac{k\,Q}{r^{2}},
multiplicamos ambos os lados por r^{2} e dividimos por E:
r^{2} = \frac{k\,Q}{E}.
Tomando raiz quadrada:
r = \sqrt{\frac{k\,Q}{E}}.
Essa é a fórmula que vamos usar com os valores conhecidos.

Passo 4

Calcular a carga total Q. Usando Q = n\cdot e:
Q = \left(4,10\times10^{7}\right)\left(1,60\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\right).
Multiplicando coeficientes e somando expoentes:
Q = 4,10\times1,60 \times10^{7-19}\\ \mathrm{C} = 6,56\times10^{-12}\\ \mathrm{C}.
Comentário: 6,56\times10^{-12}\\ \mathrm{C} é uma carga pequena, razoável para um salto de íons.

Passo 5

Calcular o numerador k\,Q:
k\,Q = \left(9,00\times10^{9}\right)\left(6,56\times10^{-12}\\ \mathrm{C}\right).
Multiplicando:
k\,Q = 9,00\times6,56 \times10^{9-12} = 59,04\times10^{-3} = 5,904\times10^{-2}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C}.

Passo 6

Dividir kQ por E:
\frac{k\,Q}{E} = \frac{5,904\times10^{-2}}{1,02\times10^{-6}}.
Separando coeficientes e potências:
\frac{k\,Q}{E} = \frac{5,904}{1,02}\times10^{-2-(-6)} = \frac{5,904}{1,02}\times10^{4}.
Calculando a divisão:
\frac{5,904}{1,02}\approx5,788235\ldots
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\frac{k\,Q}{E}\approx5,788235\times10^{4}\approx5,7882\times10^{4}.

Passo 7

Tomar a raiz quadrada para obter r:
r = \sqrt{\frac{k\,Q}{E}} \approx \sqrt{5,788235\times10^{4}}.
Calculando a raiz:
r \approx 2,406\times10^{2}\\ \mathrm{m}\approx240,6\\ \mathrm{m}.
Arredondando com três algarismos significativos (consistentes com os dados), podemos escrever
r \approx 2,41\times10^{2}\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final e incentivo: isso significa que, segundo o modelo de carga pontual, um tubarão sensível a campos de 1,02\times10^{-6}\\ \mathrm{N/C} poderia detectar o axônio a cerca de 2,41\times10^{2}\\ \mathrm{m} de distância — um valor surpreendentemente grande por causa da sensibilidade extrema. Lembre-se: na prova, os passos são sempre os mesmos — escrever a fórmula do campo, substituir Q=n e, isolar r e calcular com atenção aos expoentes. Você consegue!

Resposta

2,41\times10^{2}\\ \mathrm{m}

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