A energia potencial de uma partícula é
Suponha que o sistema possui uma energia mecânica de 40 J .
a) Qual é o ponto de equilíbrio do sistema?
a)
b)
c) -8 m
d)
e)
b) Quais são os pontos de retorno do sistema?
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
c) Quando a partícula se encontra em
-2 m , quanto vale a sua energia cinética?
a)
b)
c)
d)
e)
a) Qual é o ponto de equilíbrio do sistema?
a)
b)
c) -8 m
d)
e)
b) Quais são os pontos de retorno do sistema?
a)
b)
c)
d)
e)
c) Quando a partícula se encontra em
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou organizar com calma o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda. Informações fornecidas:
Perguntas do enunciado:
- Qual é o ponto de equilíbrio do sistema?
- Quais são os pontos de retorno (pontos de virada) do movimento, isto é, onde a velocidade é zero?
- Quando a partícula está em
, qual é sua energia cinética?
Passo 2
O que significa “ponto de equilíbrio” e como a gente encontra ele (mini-aula curta e prática).
- Força resultante em uma dimensão pode ser escrita como
. Equilíbrio está onde a força é zero, ou seja onde . - Se esse ponto for um mínimo de
(curvatura positiva), o equilíbrio é estável; se for máximo (curvatura negativa), é instável.
Agora calculamos a derivada de. A derivada é a taxa de variação de com , e aqui:
Colocamos igual a zero para achar pontos de equilíbrio:
Para confirmar que é mínimo (equilíbrio estável), olhamos a segunda derivada:
portanto é um mínimo e o ponto de equilíbrio é estável em
.
Passo 3
Forma alternativa (útil para entender a forma do potencial): completar o quadrado para
. Isso mostra claramente o mínimo:
Da expressão
vemos que o mínimo ocorre quando
, isto é
. Isso confirma o passo anterior.
Passo 4
Agora vamos achar os pontos de retorno (virada). Mini-aula: conservação de energia mecânica diz
onde
é energia cinética. Nos pontos de retorno a velocidade é nula, logo
e temos
. Então resolvemos:
Isolando o quadrado:
Tirando raiz quadrada (duas soluções com
):
Podemos também escrever
, então as soluções exatas são
Passo 5
Vamos dar os valores numéricos aproximados para os pontos de retorno (úteis na prova para comparar alternativas). Calculando
, obtemos:
Portanto os pontos de retorno são
e
.
Passo 6
Agora a energia cinética quando a partícula está em
. Mini-aula: energia cinética é a diferença entre energia total e energia potencial naquele ponto:
Calculamos
. Substituindo em
:
Logo
A energia cinética naquele instante é
.
Passo 7
Observação prática para a prova: as respostas corretas que encontramos são
- ponto de equilíbrio:
; - pontos de retorno:
(aprox. e ); - energia cinética em
: .
Nota: verificando as alternativas fornecidas na questão múltipla-escolha, nenhuma das opções apresentadas corresponde exatamente aos valores corretos calculados acima.