A energia potencial de uma partícula é
U(x)=15 x^{2}+30 x+15(\mathrm{SI})
Suponha que o sistema possui uma energia mecânica de 40 J .
a) Qual é o ponto de equilíbrio do sistema?
a) -5,0 \mathrm{~m}
b) -4,0 \mathrm{~m}
c) -8 m
d) -7,0 \mathrm{~m}
e) -6,0 \mathrm{~m}
b) Quais são os pontos de retorno do sistema?
a) -3,45 \mathrm{~m} e 1,45 \mathrm{~m}
b) -2,45 \mathrm{~m} e 2,45 \mathrm{~m}
c) -6,45 \mathrm{~m} e -1,55 \mathrm{~m}
d) -5,45 \mathrm{~m} e -0,55 \mathrm{~m}
e) -4,45 \mathrm{~m} e 0,45 \mathrm{~m}
c) Quando a partícula se encontra em x= -2 m , quanto vale a sua energia cinética?
a) 20,0 \mathrm{~J}
b) 12,0 \mathrm{~J}
c) 14,0 \mathrm{~J}
d) 16,0 \mathrm{~J}
e) 18,0 \mathrm{~J}

Passo 1

Vou organizar com calma o que o enunciado dá e o que pede, sem começar a resolver ainda. Informações fornecidas:
U(x)=15x^{2}+30x+15\\ (\text{SI})
\text{Energia mecânica total }E=40\\ \mathrm{J}â
Perguntas do enunciado:
  1. Qual é o ponto de equilíbrio do sistema?
  2. Quais são os pontos de retorno (pontos de virada) do movimento, isto é, onde a velocidade é zero?
  3. Quando a partícula está em x=-2\\ \mathrm{m}, qual é sua energia cinética?

Passo 2

O que significa “ponto de equilíbrio” e como a gente encontra ele (mini-aula curta e prática).
  • Força resultante em uma dimensão pode ser escrita como \,F(x)=-\dfrac{dU}{dx}\,. Equilíbrio está onde a força é zero, ou seja onde \dfrac{dU}{dx}=0.
  • Se esse ponto for um mínimo de U(x) (curvatura positiva), o equilíbrio é estável; se for máximo (curvatura negativa), é instável.
    Agora calculamos a derivada de U(x). A derivada é a taxa de variação de U com x, e aqui:
\frac{dU}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(15x^{2}+30x+15\bigr)=30x+30.
Colocamos igual a zero para achar pontos de equilíbrio:
30x+30=0 \quad\Rightarrow\quad x=-1.
Para confirmar que é mínimo (equilíbrio estável), olhamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}U}{dx^{2}}=\frac{d}{dx}(30x+30)=30>0,
portanto é um mínimo e o ponto de equilíbrio é estável em x=-1\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Forma alternativa (útil para entender a forma do potencial): completar o quadrado para U(x). Isso mostra claramente o mínimo:
U(x)=15x^{2}+30x+15=15\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)=15(x+1)^{2}.
Da expressão \,U(x)=15(x+1)^{2}\, vemos que o mínimo ocorre quando (x+1)^{2}=0, isto é x=-1. Isso confirma o passo anterior.

Passo 4

Agora vamos achar os pontos de retorno (virada). Mini-aula: conservação de energia mecânica diz
E=K+U,
onde K é energia cinética. Nos pontos de retorno a velocidade é nula, logo K=0 e temos U(x)=E. Então resolvemos:
15(x+1)^{2}=40.
Isolando o quadrado:
(x+1)^{2}=\frac{40}{15}=\frac{8}{3}.
Tirando raiz quadrada (duas soluções com \pm):
x+1=\pm\sqrt{\tfrac{8}{3}} \quad\Rightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{\tfrac{8}{3}}.
Podemos também escrever \sqrt{\tfrac{8}{3}}=\dfrac{2\sqrt{6}}{3}, então as soluções exatas são
x=-1\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3}.

Passo 5

Vamos dar os valores numéricos aproximados para os pontos de retorno (úteis na prova para comparar alternativas). Calculando \sqrt{\tfrac{8}{3}}\approx1,632993, obtemos:
x_{1}=-1-1,632993\approx-2,632993\quad(\text{aprox. }-2,63\\ \mathrm{m}),
x_{2}=-1+1,632993\approx0,632993\quad(\text{aprox. }0,63\\ \mathrm{m}).
Portanto os pontos de retorno são x\approx-2,63\\ \mathrm{m} e x\approx0,63\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Agora a energia cinética quando a partícula está em x=-2\\ \mathrm{m}. Mini-aula: energia cinética é a diferença entre energia total e energia potencial naquele ponto:
K=E-U(x).
Calculamos U(-2). Substituindo em U(x)=15(x+1)^{2}:
U(-2)=15(-2+1)^{2}=15(-1)^{2}=15.
Logo
K=40-15=25\\ \mathrm{J}.
A energia cinética naquele instante é 25\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Observação prática para a prova: as respostas corretas que encontramos são
  • ponto de equilíbrio: x=-1\\ \mathrm{m};
  • pontos de retorno: x=-1\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3} (aprox. x\approx-2,63\\ \mathrm{m} e x\approx0,63\\ \mathrm{m});
  • energia cinética em x=-2\\ \mathrm{m}: K=25\\ \mathrm{J}.
Nota: verificando as alternativas fornecidas na questão múltipla-escolha, nenhuma das opções apresentadas corresponde exatamente aos valores corretos calculados acima.

Resposta

x_{\text{equilíbrio}}=-1\\ \mathrm{m}í
x_{\text{retorno}}=-1\pm\dfrac{2\sqrt{6}}{3} \left(\text{aprox. }-2,63\\ \mathrm{m}\text{ e }0,63\\ \mathrm{m}\right)
K(x=-2\\ \mathrm{m})=25\\ \mathrm{J}

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