Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa \mathrm{M}_{2}.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância r para uma distância 4 r, estando azora a uma velocidade v_{G} obtenha a razio entre esca velocideade final v_{f} e a velocidade incial v. Ou seja, obtenha v_{t} / v. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.

Passo 1

Dados fornecidos e o que é pedido:
  • Dados do enunciado: \text{massa da nave: } m,\qquad \text{distância inicial ao Sol: } r,\qquad \text{velocidade inicial (órbita circular): } v,âó
\text{massa do Sol: } M_{2},\qquad \text{nova distância: } 4r,\qquad \text{velocidade nessa nova posição: } v_{f}.âçã
O enunciado afirma que a única força que age sobre a nave é a força gravitacional, a qual fornece a força centrípeta necessária para órbitas circulares.
  • Perguntas:
    (a) Obter a razão entre a velocidade final v_{f} (na distância 4r) e a velocidade inicial v; ou seja, calcular \dfrac{v_{f}}{v}.
    (b) Deduzir uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita (velocidade mínima para escapar da influência gravitacional do Sol a partir da distância r).

Passo 2

Fórmulas fundamentais usadas e explicação didática:
  • Lei da gravitação universal de Newton: a magnitude da força gravitacional entre o Sol (massa M_{2}) e a nave (massa m) a uma distância R é
    F_{\text{grav}}=\frac{G\,M_{2}\,m}{R^{2}},
    onde G é a constante gravitacional. Aqui G>0, M_{2} e m são massas, e R é a distância entre os centros das massas.
  • Força centrípeta necessária para um movimento circular de raio R e velocidade tangencial v_{\text{circ}} é
    F_{\text{cent}}=\frac{m\,v_{\text{circ}}^{2}}{R}.
    Esta é a força dirigida ao centro que mantém o objeto descrevendo a trajetória circular.
  • Para uma órbita circular estável, a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta, logo igualamos as duas magnitudes:
    \frac{m\,v_{\text{circ}}^{2}}{R}=\frac{G\,M_{2}\,m}{R^{2}}.
    Podemos cancelar m (a massa da nave) dos dois lados porque aparece multiplicando ambos os termos; isso mostra uma propriedade importante: a velocidade orbital circular independe da massa do objeto em órbita.

Passo 3

Derivação da velocidade de uma órbita circular a uma distância R:
A partir da igualdade do passo anterior,
\frac{m\,v_{\text{circ}}^{2}}{R}=\frac{G\,M_{2}\,m}{R^{2}},
dividindo ambos os lados por m e multiplicando por R obtemos
v_{\text{circ}}^{2}=\frac{G\,M_{2}}{R}.
Tomando raiz quadrada (tomando a raiz positiva, pois velocidade tangencial é positiva em magnitude),
v_{\text{circ}}=\sqrt{\frac{G\,M_{2}}{R}}.
Isto é chave: para uma órbita circular de raio R, a velocidade necessária é \sqrt{G M_{2}/R}.

Passo 4

Aplicando a fórmula para as duas posições (inicial e final) e calculando a razão pedida:
  • Na posição inicial, R=r, portanto a velocidade circular dada no enunciado deve satisfazer
    v=\sqrt{\frac{G\,M_{2}}{r}}.
  • Na nova posição circular, R=4r, a velocidade circular será
    v_{f}=\sqrt{\frac{G\,M_{2}}{4r}}.
    Podemos manipular essa expressão para relacioná‑la com v. Reescrevendo v_{f}:
    v_{f}=\sqrt{\frac{G\,M_{2}}{4r}}=\sqrt{\frac{1}{4}\cdot\frac{G\,M_{2}}{r}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{G\,M_{2}}{r}}.
    Mas \sqrt{\dfrac{G\,M_{2}}{r}}=v, então
    v_{f}=\frac{1}{2}\,v.
    Portanto a razão pedida é
    \frac{v_{f}}{v}=\frac{1}{2}.
Observação intuitiva: em órbitas circulares, a velocidade diminui com a raiz de 1/R; quaduplicando o raio, a velocidade é reduzida por um fator \sqrt{1/4}=1/2. Tá ficando tudo claro — respira que a conta é curtinha!

Passo 5

Dedução da expressão para a velocidade de escape a partir da distância r (explicação passo a passo com conservação de energia):
  • Energia cinética da nave de massa m com velocidade v:
    K=\frac{1}{2}m v^{2}.
  • Energia potencial gravitacional entre o Sol (massa M_{2}) e a massa m a uma distância r é
    U=-\frac{G\,M_{2}\,m}{r}.
    Observação: escolhemos por convenção U(\infty)=0; por isso U(r) é negativo para valores finitos de r.
  • Para que a nave escape para o infinito (isto é, alcançar R\to\infty), é necessário que a energia total inicial (cinética + potencial) seja ao menos zero, porque no infinito a energia potencial é 0 e a energia cinética mínima para “apenas escapar” é 0. Assim a condição de escape crítica é
    K+U=0.
    Substituindo as expressões:
    \frac{1}{2}m\,v_{\text{esc}}^{2}-\frac{G\,M_{2}\,m}{r}=0.
    Cancelando m e isolando v_{\text{esc}}^{2}:
    \frac{1}{2}v_{\text{esc}}^{2}=\frac{G\,M_{2}}{r}\quad\Rightarrow\quad v_{\text{esc}}^{2}=\frac{2G\,M_{2}}{r}.
    Tomando raiz positiva:
    v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2G\,M_{2}}{r}}.
  • Relação com a velocidade circular v encontrada antes: como v=\sqrt{\dfrac{G\,M_{2}}{r}}, temos imediatamente
    v_{\text{esc}}=\sqrt{2}\,v.
    Isso é um resultado clássico: a velocidade de escape é \sqrt{2} vezes a velocidade orbital circular à mesma distância.

Resposta

(a) \dfrac{v_{f}}{v}=\dfrac{1}{2}.
(b) v_{\text{esc}}=\sqrt{\dfrac{2G\,M_{2}}{r}}=\sqrt{2}\,v.

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