Q2 (25 pontos) - Suponha que uma nave de massa m esteja em uma órbita circular a uma velocidade v e a uma distância r do Sol, o qual possui massa
.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância
para uma distância
, estando azora a uma velocidade
obtenha a razio entre esca velocideade final
e a velocidade incial
. Ou seja, obtenha
. Lembre-se de que a força gravitacional é a única força que atua sobre a nave e é de natureza centrípeta.
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
a) ( 10 pontos) Se essa nave passa de uma distância
b) ( 15 pontos) Deduza uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita da influência gravitacional do Sol.
Passo 1
Dados fornecidos e o que é pedido:
- Dados do enunciado:
O enunciado afirma que a única força que age sobre a nave é a força gravitacional, a qual fornece a força centrípeta necessária para órbitas circulares.
- Perguntas:
(a) Obter a razão entre a velocidade final(na distância ) e a velocidade inicial ; ou seja, calcular .
(b) Deduzir uma expressão para a velocidade de escape dessa órbita (velocidade mínima para escapar da influência gravitacional do Sol a partir da distância).
Passo 2
Fórmulas fundamentais usadas e explicação didática:
-
Lei da gravitação universal de Newton: a magnitude da força gravitacional entre o Sol (massa
) e a nave (massa ) a uma distância é ondeé a constante gravitacional. Aqui , e são massas, e é a distância entre os centros das massas. -
Força centrípeta necessária para um movimento circular de raio
e velocidade tangencial é Esta é a força dirigida ao centro que mantém o objeto descrevendo a trajetória circular. -
Para uma órbita circular estável, a força gravitacional fornece exatamente a força centrípeta, logo igualamos as duas magnitudes:Podemos cancelar
(a massa da nave) dos dois lados porque aparece multiplicando ambos os termos; isso mostra uma propriedade importante: a velocidade orbital circular independe da massa do objeto em órbita.
Passo 3
Derivação da velocidade de uma órbita circular a uma distância
:
A partir da igualdade do passo anterior,
dividindo ambos os lados por
e multiplicando por
obtemos
Tomando raiz quadrada (tomando a raiz positiva, pois velocidade tangencial é positiva em magnitude),
Isto é chave: para uma órbita circular de raio
, a velocidade necessária é
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para as duas posições (inicial e final) e calculando a razão pedida:
-
Na posição inicial,
, portanto a velocidade circular dada no enunciado deve satisfazer -
Na nova posição circular,
, a velocidade circular será Podemos manipular essa expressão para relacioná‑la com. Reescrevendo : Mas, então Portanto a razão pedida é
Observação intuitiva: em órbitas circulares, a velocidade diminui com a raiz de
; quaduplicando o raio, a velocidade é reduzida por um fator
. Tá ficando tudo claro — respira que a conta é curtinha!
Passo 5
Dedução da expressão para a velocidade de escape a partir da distância
(explicação passo a passo com conservação de energia):
-
Energia cinética da nave de massa
com velocidade : -
Energia potencial gravitacional entre o Sol (massa
) e a massa a uma distância é Observação: escolhemos por convenção; por isso é negativo para valores finitos de . -
Para que a nave escape para o infinito (isto é, alcançar
), é necessário que a energia total inicial (cinética + potencial) seja ao menos zero, porque no infinito a energia potencial é e a energia cinética mínima para “apenas escapar” é . Assim a condição de escape crítica é Substituindo as expressões:Cancelandoe isolando : Tomando raiz positiva: -
Relação com a velocidade circular
encontrada antes: como , temos imediatamente Isso é um resultado clássico: a velocidade de escape évezes a velocidade orbital circular à mesma distância.
Resposta
(a)
(b)
(b)