Encontre o campo magnético no ponto P(1,1,0) produzido por dois filamentos retos, infinitamente longos, percorridos por correntes iguais a 8 A nas direções \mathbf{a}_{x} e \mathbf{a}_{y}, sendo que os filamentos estão dispostos sobre os eixos x e y, respectivamente.

Passo 1

O enunciado fornece:
\text{Dois filamentos retos e infinitos},
um sobre o eixo x e outro sobre o eixo y, ambos passando pela origem. Cada filamento é percorrido por uma corrente de intensidade
I=8\\ \text{A},
no filamento sobre o eixo x a corrente tem direção \mathbf{a}_x (isto é, para +x) e no filamento sobre o eixo y a corrente tem direção \mathbf{a}_y (isto é, para +y). O ponto onde devemos achar o campo magnético é
P(1,1,0).
Pergunta do exercício:
\text{Encontre o campo magnético } \mathbf{B} \text{ no ponto } P(1,1,0).é

Passo 2

Escolha do método e princípio físico (explicação didática):
Para fios retos e infinitos existe uma expressão simples e muito usada que dá o módulo do campo magnético a uma distância r do fio:
B=\frac{\mu_{0}\,I}{2\pi r},
onde \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo ( \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}), I é a corrente e r é a distância perpendicular do ponto ao eixo do fio. Essa fórmula vem da integral de Biot–Savart aplicada a um fio infinito, mas na prova geralmente você pode citar essa fórmula diretamente quando o fio é infinito porque é um resultado padrão. Aqui:
  • \mu_{0} é uma constante física que relaciona campo magnético e corrente;
  • I é a corrente elétrica no fio;
  • r é a menor distância (perpendicular) do ponto P ao fio.
Direção do campo: o campo forma linhas circulares ao redor do fio; a direção é dada pela regra da mão direita (ou, matematicamente, por um produto vetorial envolvendo o vetor radial e a direção da corrente). Uma forma prática de achar a direção é:
\hat{\varphi}=\hat{r}_\perp\times\hat{u}_I,
onde \hat{r}_\perp é o versor que aponta do eixo do fio para o ponto (na direção perpendicular ao eixo) e \hat{u}_I é o versor da corrente. Vou usar essa forma para obter o sentido do campo em cada fio.

Passo 3

Determinar as distâncias perpendiculares de P a cada fio (explicando como pensar nisso):
  • Para o fio sobre o eixo x: sua linha é todo (x,0,0). A distância perpendicular de P(1,1,0) ao eixo x é a distância no plano y- z entre (0,1,0) e o eixo, isto é
r_x=\sqrt{y^2+z^2}=\sqrt{1^2+0^2}=1.
  • Para o fio sobre o eixo y: sua linha é todo (0,y,0). A distância perpendicular de P(1,1,0) ao eixo y é a distância no plano x- z entre (1,0,0) e o eixo, isto é
r_y=\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{1^2+0^2}=1.
Portanto, para os dois fios r=1 (as distâncias estão em unidades coerentes com as coordenadas dadas).

Passo 4

Calcular os módulos dos campos criados por cada fio (usar a fórmula do Passo 2 e explicar os passos):
A magnitude do campo gerado por um fio infinito a distância r é
B=\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}.
Substituindo I=8 e r=1:
B=\frac{\mu_{0}\cdot 8}{2\pi\cdot 1}=\frac{4\mu_{0}}{\pi}.
Se você quiser o valor numérico usando \mu_{0}=4\pi\times10^{-7}\\ \text{H/m}:
B=\frac{4(4\pi\times10^{-7})}{\pi}=16\times10^{-7}=1,6\times10^{-6}\\ \text{T}.
Mas vou manter a expressão simbólica \dfrac{4\mu_{0}}{\pi} para clareza nas próximas contas.

Passo 5

Determinar a direção vetorial do campo de cada fio, explicando a regra usada:
Precisamos do versor radial perpendicular \hat{r}_\perp e do versor da corrente \hat{u}_I para cada fio, e então aplicamos \hat{\varphi}=\hat{r}_\perp\times\hat{u}_I.
  • Fio sobre o eixo x:
    • A direção da corrente é \hat{u}_I=\mathbf{a}_x.
    • O vetor perpendicular do eixo x até P é na direção positiva de y, logo \hat{r}_{\perp,x}=\mathbf{a}_y.
    • Assim a direção do campo é \hat{\varphi}_x=\hat{r}_{\perp,x}\times\hat{u}_I=\mathbf{a}_y\times\mathbf{a}_x = -\mathbf{a}_z.
    • Portanto o campo devido ao fio em x é \mathbf{B}_x = -\frac{4\mu_{0}}{\pi}\,\mathbf{a}_z.
    (Interpretação pela mão direita: com o polegar apontando para +x, em cima do fio, os dedos apontam para -z no ponto P.)
  • Fio sobre o eixo y:
    • A direção da corrente é \hat{u}_I=\mathbf{a}_y.
    • O vetor perpendicular do eixo y até P é na direção positiva de x, logo \hat{r}_{\perp,y}=\mathbf{a}_x.
    • Assim a direção do campo é \hat{\varphi}_y=\hat{r}_{\perp,y}\times\hat{u}_I=\mathbf{a}_x\times\mathbf{a}_y = \mathbf{a}_z.
    • Portanto o campo devido ao fio em y é \mathbf{B}_y = +\frac{4\mu_{0}}{\pi}\,\mathbf{a}_z.
    (Interpretação pela mão direita: com o polegar para +y, no ponto à direita ( +x) os dedos apontam para +z.)

Passo 6

Somar os campos vetoriais (superposição linear) e concluir:
\mathbf{B}=\mathbf{B}_x+\mathbf{B}_y = -\frac{4\mu_{0}}{\pi}\,\mathbf{a}_z + \frac{4\mu_{0}}{\pi}\,\mathbf{a}_z = \mathbf{0}.
Portanto os dois campos têm mesmo módulo e sentidos opostos em \mathbf{a}_z, cancelam exatamente no ponto P(1,1,0). Isso faz sentido fisicamente: simetria e sinais das correntes geram campos opostos naquela posição; é sempre bom checar a direção com a regra da mão direita.

Resposta

\mathbf{B}=\mathbf{0}

Exercícios relacionados