[KAROLINE GONCALVES DE ALBUQUERQUE] A 0,40 \mathrm{~kg} de gelo a 0^{\circ} \mathrm{C} misturado com 0,70 \mathrm{~kg} de água a 35^{\circ} \mathrm{C} em um recipiente. Calcule a temperatura resultante. Você pode considerar a capacidade de calor específico da água como 4184 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} e o calor latente de fusão do gelo como 3,33 \times 10^{5} J \mathrm{~kg}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a temperatura resultante quando 0,40\\ \mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} é misturado com 0,70\\ \mathrm{kg} de água a 35^\circ\mathrm{C} em um recipiente. Dados fornecidos:
m_{\text{gelo}} = 0,40\\ \mathrm{kg}
T_{\text{gelo,inicial}} = 0^\circ\mathrm{C}
m_{\text{água}} = 0,70\\ \mathrm{kg}á
T_{\text{água,inicial}} = 35^\circ\mathrm{C}á
c_{\text{água}} = 4184\\ \mathrm{J\;kg^{-1}\;K^{-1}}á
L_{\text{fusão}} = 3,33\times10^{5}\\ \mathrm{J\;kg^{-1}}ã
A única pergunta que precisamos responder é: qual é a temperatura final da mistura?

Passo 2

Estratégia física e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Conservação de energia térmica: o calor perdido pela água quente será usado para fundir e/ou aquecer o gelo; quando o sistema atinge equilíbrio térmico, a soma algébrica dos calores é zero.
  • Calor necessário para aquecer/alisar uma massa: Q = m\,c\,\Delta T
onde Q é o calor em joules, m a massa em quilogramas, c a capacidade térmica em \mathrm{J\;kg^{-1}\;K^{-1}} e \Delta T a variação de temperatura em kelvin (ou °C).
  • Calor necessário para fundir gelo (mudança de fase a 0^\circ\mathrm{C}): Q_{\text{fusão}} = m\,L_{\text{fusão}}ãã
onde L_{\text{fusão}}ã é o calor latente de fusão em \mathrm{J\;kg^{-1}} e m é a massa de gelo a ser fundida.
Observação prática: primeiro verificamos se a água quente tem energia suficiente para converter todo o gelo em água a 0^\circ\mathrm{C}. Se NÃO for suficiente, a temperatura final será 0^\circ\mathrm{C} (mistura de água e gelo). Se for suficiente, o gelo derrete totalmente e podemos calcular a temperatura final acima de 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 3

Calcular o calor que a água pode perder ao resfriar de 35^\circ\mathrm{C} até 0^\circ\mathrm{C} (isso é a energia disponível para fundir o gelo):
Q_{\text{disponível}} = m_{\text{água}}\,c_{\text{água}}\,\Delta T = 0,70\cdot 4184\cdot(35-0)íáá
Primeiro 4184\cdot 35 = 146440. Em seguida
Q_{\text{disponível}} = 0,70\cdot 146440 = 102508\\ \mathrm{J}í

Passo 4

Calcular o calor necessário para fundir todo o gelo (transformar 0,40\\ \mathrm{kg} de gelo a 0^\circ\mathrm{C} em água a 0^\circ\mathrm{C}):
Q_{\text{necessário}} = m_{\text{gelo}}\,L_{\text{fusão}} = 0,40\cdot 3,33\times10^{5}áã
Q_{\text{necessário}} = 1,332\times10^{5}\\ \mathrm{J} = 133200\\ \mathrm{J}á

Passo 5

Comparação das energias:
Q_{\text{disponível}} = 102508\\ \mathrm{J}í
Q_{\text{necessário}} = 133200\\ \mathrm{J}á
Como Q_{\text{disponível}} < Q_{\text{necessário}}íá, a água quente NÃO tem energia suficiente para fundir todo o gelo. Portanto não chega a existir somente água; a mistura final é água + gelo em equilíbrio térmico a 0^\circ\mathrm{C}. Assim a temperatura final é 0^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

(Mais informação útil para a prova: quanto do gelo derreteu?)
A massa de gelo que efetivamente derreteu é a energia disponível dividida pelo calor latente:
m_{\text{derretida}} = \frac{Q_{\text{disponível}}}{L_{\text{fusão}}} = \frac{102508}{3,33\times10^{5}}íã
m_{\text{derretida}} \approx 0,3077\\ \mathrm{kg}
Logo, massa de gelo restante:
m_{\text{restante}} = 0,40 - 0,3077 \approx 0,0923\\ \mathrm{kg}
Isso confirma que ainda sobra gelo e que a temperatura de equilíbrio é 0^\circ\mathrm{C}.

Resposta

0^\circ\mathrm{C}

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