(1.25 pontos) Suponha que os vetores \vec{u} e \vec{v} são vetores ortogonais tais que (4 \vec{u}+\vec{v}) \cdot(\vec{u}-\vec{v})=0 e \vec{u} é um vetor unitário, então o vetor \vec{v} tem comprimento 2 .

Passo 1

O enunciado diz que \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, ou seja,
\vec{u}\cdot\vec{v}=0,
que \vec{u} é unitário, isto é,
\|\vec{u}\|=1,
e que
(4\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=0.
Queremos encontrar \|\vec{v}\|.

Passo 2

Aplicamos a propriedade distributiva do produto escalar em
(4\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\;4\vec{u}\cdot\vec{u}\;-\;4\vec{u}\cdot\vec{v}\;+\;\vec{v}\cdot\vec{u}\;-\;\vec{v}\cdot\vec{v}.

Passo 3

Como \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e \|\vec{u}\|^2=\vec{u}\cdot\vec{u}=1, a expressão acima fica
4\cdot1 \;-\;4\cdot0 \;+\;0 \;-\;\|\vec{v}\|^2 =4-\|\vec{v}\|^2.
E isso deve valer zero.

Passo 4

Temos a equação
4-\|\vec{v}\|^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{v}\|^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad \|\vec{v}\| = \sqrt{4} = 2.

Resposta

O vetor \vec{v} tem comprimento 2.

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