Encontre o angulo entre a reta r X=(1,0,0)+m(2,1,-1) e o plano pi: 2 x-y-z-1=0

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre a reta
r: \mathbf{X}=(1,0,0)+m\,(2,1,-1)
e o plano
\pi: 2x - y - z - 1 = 0.
O conteúdo é geometria analítica em 3D, especificamente o ângulo entre reta e plano. Vamos usar que, se \theta é esse ângulo, então
\sin\theta = \frac{\lvert \mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\rvert}{\|\mathbf{v}\|\,\|\mathbf{n}\|},
em que \mathbf{v} é o vetor diretor da reta e \mathbf{n} o vetor normal ao plano.

Passo 2

Do parâmetro da reta extraímos o vetor diretor
\mathbf{v} = (2,1,-1).
Do plano 2x - y - z - 1 = 0 sabemos que o vetor normal é
\mathbf{n} = (2,-1,-1).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}\cdot \mathbf{n} = 2\cdot2 + 1\cdot(-1) + (-1)\cdot(-1) = 4 -1 +1 = 4,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \qquad \|\mathbf{n}\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}.
Logo,
\sin\theta = \frac{\lvert 4\rvert}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 4

Aplicando a função inversa do seno, obtemos
\theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr).
Em graus,
\theta \approx 41{,}81^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \arcsin\!\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)\approx 41{,}81^\circ.

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