Dada 3 x^{\wedge} 2+5 y^{\wedge} 2+z^{\wedge} 2-3 x+2 y-z=0 encontre as coordenadas do vértice e determine qual quádrica é

Passo 1

O enunciado dá a superfície de segunda ordem
3x^{2}+5y^{2}+z^{2}-3x+2y-z=0
e pede o vértice (ou seja, o ponto que “completa os quadrados”) e a classificação da quádrica. Vamos usar o método de completar o quadrado em cada variável.

Passo 2

Reescrevemos os termos em x agrupados e completamos o quadrado:
3x^{2}-3x = 3\bigl(x^{2}-x\bigr) =3\Bigl[\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac14\Bigr] =3\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac34.

Passo 3

Fazemos o mesmo para y:
5y^{2}+2y = 5\bigl(y^{2}+\tfrac{2}{5}y\bigr) =5\Bigl[\bigl(y+\tfrac{1}{5}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{25}\Bigr] =5\bigl(y+\tfrac{1}{5}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{5}.

Passo 4

E para z:
z^{2}-z = \bigl(z-\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac14.

Passo 5

Substituindo tudo na equação original:
3\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac34 +5\bigl(y+\tfrac{1}{5}\bigr)^{2}-\tfrac{1}{5} +\bigl(z-\tfrac12\bigr)^{2}-\tfrac14 =0.
Agrupando constantes à direita:
3\bigl(x-\tfrac12\bigr)^{2} +5\bigl(y+\tfrac{1}{5}\bigr)^{2} +\bigl(z-\tfrac12\bigr)^{2} =\tfrac34+\tfrac14+\tfrac{1}{5} =1+\tfrac{1}{5} =\tfrac{6}{5}.

Passo 6

O vértice (ponto que anula cada quadrado) é
\bigl(x,y,z\bigr)=\Bigl(\tfrac12,\,-\tfrac{1}{5},\,\tfrac12\Bigr).

Passo 7

Como a forma reduzida é a soma de três quadrados positivos igual a uma constante positiva, trata-se de um elipsoide centrado em \bigl(\tfrac12,-\tfrac15,\tfrac12\bigr).

Resposta

O vértice (centro) é \bigl(\tfrac12,-\tfrac{1}{5},\tfrac12\bigr) e a quádric a é um elipsoide.

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