(25,0 ptos) Seja a funçâo definida por f(x)=3 x^4-8 x^3+6 x^3+2. Determinar:
a) Os pontos críticos.
b) Intervalos de crescimento e decrescimento.
c) Máximos e Mínimos usando o teste da Segunda Derivada.
d) Os pontos de inflexão.
e) Intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função $ f(x) = 3x^{4} - 8x^{3} + 6x^{3} + 2 $ em diferentes aspectos: encontrar pontos críticos, determinar intervalos de crescimento e decrescimento, identificar máximos e mínimos usando o teste da segunda derivada, localizar pontos de inflexão e verificar a concavidade da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda, e entender como elas nos ajudam a analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Observamos que há termos semelhantes:
f(x)
Simplificando os termos $ -8x^{3} + 6x^{3} $:
f(x) = 3x^4 - 8x^3 + 6x^3 + 2

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $ e igualá-la a zero. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe, indicando possíveis máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada:
f(x)
Calculando cada termo:
f'(x) = ddx(3x^4) - ddx(2x^3) + ddx(2)
f'(x) = 12x^3 - 6x^2 + 0

Passo 4

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
f'(x) = 0
Fatorando:
12x^3 - 6x^2 = 0
Assim, temos duas soluções:
  1. $ 6x^{2} = 0 $ → $ x = 0 $
  2. $ 2x - 1 = 0 $ → $ x = \frac{1}{2} $
Portanto, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $.

Passo 5

Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada $ f’(x) $ em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Temos os pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $, que dividem a linha real em três intervalos:
  1. $ x < 0 $
  2. $ 0 < x < \frac{1}{2} $
  3. $ x > \frac{1}{2} $
Vamos escolher um valor de $ x $ em cada intervalo e verificar o sinal de $ f’(x) $.
  • Intervalo $ x < 0 $: Vamos escolher $ x = -1 $
    f'(x) (Negativo)
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo $ 0 < x < \frac{1}{2} $: Vamos escolher $ x = \frac{1}{4} $
    x = 0 (Negativo)
    A função continua decrescendo nesse intervalo.
  • Intervalo $ x > \frac{1}{2} $: Vamos escolher $ x = 1 $
    x = 12 (Positivo)
    Aqui, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos da função usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $:
f''(x)
Derivando novamente:
f'(x) = 12x^3 - 6x^2
f''(x) = ddx(12x^3) - ddx(6x^2)
Vamos avaliar $ f’’(x) $ nos pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $:
  1. Para $ x = 0 $:
    f''(x) = 36x^2 - 12x
    Como a segunda derivada é zero, o teste está inconclusivo. Precisaríamos de mais informações para determinar a natureza desse ponto.
  2. Para $ x = \frac{1}{2} $:
    f''(x) (Positivo)
    Como $ f’’\left(\frac{1}{2}\right) > 0 $, temos um mínimo local em $ x = \frac{1}{2} $.

Passo 7

Vamos identificar os pontos de inflexão da função. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Temos a segunda derivada:
f''(x) = 36x^2 - 12x
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
36x^2 - 12x = 0
As soluções são:
  1. $ 12x = 0 $ → $ x = 0 $
  2. $ 3x - 1 = 0 $ → $ x = \frac{1}{3} $
Portanto, os possíveis pontos de inflexão estão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{3} $.
Vamos verificar se há troca de concavidade nesses pontos examinando o sinal de $ f’’(x) $ nos intervalos determinados por eles:
  1. Intervalo $ x < 0 $: Escolhemos $ x = -1 $
    12x(3x - 1) = 0 (Positivo)
  2. Intervalo $ 0 < x < \frac{1}{3} $: Escolhemos $ x = \frac{1}{6} $
    12x = 0 (Negativo)
    Houve mudança de concavidade de positivo para negativo em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto de inflexão.
  3. Intervalo $ x > \frac{1}{3} $: Escolhemos $ x = 1 $
    x = 0 (Positivo)
    Mudança de negativo para positivo em $ x = \frac{1}{3} $, então $ x = \frac{1}{3} $ também é um ponto de inflexão.

Passo 8

Por fim, vamos determinar os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso depende do sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
  • Concavidade para cima ($ f’’(x) > 0 $):
    Em $ x < 0 $ e $ x > \frac{1}{3} $, $ f’’(x) $ é positivo.
  • Concavidade para baixo ($ f’’(x) < 0 $):
    No intervalo $ 0 < x < \frac{1}{3} $, $ f’’(x) $ é negativo.

Resposta

a) Pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $.
b) A função está decrescendo em $ (-\infty, 0) $ e $ (0, \frac{1}{2}) $, e crescendo em $ (\frac{1}{2}, +\infty) $.
c) Existe um mínimo local em $ x = \frac{1}{2} $.
d) Pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{3} $.
e) A função tem concavidade para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ (\frac{1}{3}, +\infty) $, e concavidade para baixo em $ (0, \frac{1}{3}) $.

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