ptos) Seja a funçâo definida por
. Determinar:
a) Os pontos críticos.
b) Intervalos de crescimento e decrescimento.
c) Máximos e Mínimos usando o teste da Segunda Derivada.
d) Os pontos de inflexão.
e) Intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
a) Os pontos críticos.
b) Intervalos de crescimento e decrescimento.
c) Máximos e Mínimos usando o teste da Segunda Derivada.
d) Os pontos de inflexão.
e) Intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para analisar a função $ f(x) = 3x^{4} - 8x^{3} + 6x^{3} + 2 $ em diferentes aspectos: encontrar pontos críticos, determinar intervalos de crescimento e decrescimento, identificar máximos e mínimos usando o teste da segunda derivada, localizar pontos de inflexão e verificar a concavidade da função. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas primeira e segunda, e entender como elas nos ajudam a analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função $ f(x) $. Observamos que há termos semelhantes:
Simplificando os termos $ -8x^{3} + 6x^{3} $:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, precisamos calcular a primeira derivada de $ f(x) $ e igualá-la a zero. Os pontos críticos são onde a derivada é zero ou não existe, indicando possíveis máximos, mínimos ou pontos de inflexão.
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada:
Calculando cada termo:
Passo 4
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo $ f’(x) = 0 $:
Fatorando:
Assim, temos duas soluções:
- $ 6x^{2} = 0 $ → $ x = 0 $
- $ 2x - 1 = 0 $ → $ x = \frac{1}{2} $
Portanto, os pontos críticos são $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $.
Passo 5
Agora, vamos determinar os intervalos de crescimento e decrescimento da função. Para isso, analisamos o sinal da primeira derivada $ f’(x) $ em cada intervalo determinado pelos pontos críticos.
Temos os pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $, que dividem a linha real em três intervalos:
- $ x < 0 $
- $ 0 < x < \frac{1}{2} $
- $ x > \frac{1}{2} $
Vamos escolher um valor de $ x $ em cada intervalo e verificar o sinal de $ f’(x) $.
-
Intervalo $ x < 0 $: Vamos escolher $ x = -1 $
(Negativo) Então, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ 0 < x < \frac{1}{2} $: Vamos escolher $ x = \frac{1}{4} $
(Negativo) A função continua decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo $ x > \frac{1}{2} $: Vamos escolher $ x = 1 $
(Positivo) Aqui, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os máximos e mínimos da função usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular a segunda derivada $ f’’(x) $:
Derivando novamente:
Vamos avaliar $ f’’(x) $ nos pontos críticos $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $:
-
Para $ x = 0 $:Como a segunda derivada é zero, o teste está inconclusivo. Precisaríamos de mais informações para determinar a natureza desse ponto.
-
Para $ x = \frac{1}{2} $:
(Positivo) Como $ f’’\left(\frac{1}{2}\right) > 0 $, temos um mínimo local em $ x = \frac{1}{2} $.
Passo 7
Vamos identificar os pontos de inflexão da função. Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Temos a segunda derivada:
Para encontrar pontos de inflexão, resolvemos $ f’’(x) = 0 $:
As soluções são:
- $ 12x = 0 $ → $ x = 0 $
- $ 3x - 1 = 0 $ → $ x = \frac{1}{3} $
Portanto, os possíveis pontos de inflexão estão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{3} $.
Vamos verificar se há troca de concavidade nesses pontos examinando o sinal de $ f’’(x) $ nos intervalos determinados por eles:
-
Intervalo $ x < 0 $: Escolhemos $ x = -1 $
(Positivo) -
Intervalo $ 0 < x < \frac{1}{3} $: Escolhemos $ x = \frac{1}{6} $
(Negativo) Houve mudança de concavidade de positivo para negativo em $ x = 0 $, então $ x = 0 $ é um ponto de inflexão. -
Intervalo $ x > \frac{1}{3} $: Escolhemos $ x = 1 $
(Positivo) Mudança de negativo para positivo em $ x = \frac{1}{3} $, então $ x = \frac{1}{3} $ também é um ponto de inflexão.
Passo 8
Por fim, vamos determinar os intervalos onde a função tem concavidade voltada para cima ou para baixo. Isso depende do sinal da segunda derivada $ f’’(x) $:
-
Concavidade para cima ($ f’’(x) > 0 $):Em $ x < 0 $ e $ x > \frac{1}{3} $, $ f’’(x) $ é positivo.
-
Concavidade para baixo ($ f’’(x) < 0 $):No intervalo $ 0 < x < \frac{1}{3} $, $ f’’(x) $ é negativo.
Resposta
a) Pontos críticos em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{2} $.
b) A função está decrescendo em $ (-\infty, 0) $ e $ (0, \frac{1}{2}) $, e crescendo em $ (\frac{1}{2}, +\infty) $.
c) Existe um mínimo local em $ x = \frac{1}{2} $.
d) Pontos de inflexão em $ x = 0 $ e $ x = \frac{1}{3} $.
e) A função tem concavidade para cima em $ (-\infty, 0) $ e $ (\frac{1}{3}, +\infty) $, e concavidade para baixo em $ (0, \frac{1}{3}) $.