Use a parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a derivada das seguintes funções.
p(x)=integralsen(x)^cos (x) ln (1+2 v) d v

Passo 1

Temos a função p(x) = integralsin(x)^cos(x) ln(1+2v),dv. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, aplicado a integrais com limites que dependem de x, e vamos precisar também da regra da cadeia para derivadas de limites variáveis.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, parte 1, se P(x)=integrala(x)^b(x) f(v),dv, então sua derivada é
P'(x)=fl(b(x)r),b'(x)-fl(a(x)r),a'(x)

Passo 3

Aqui identificamos:
  • f(v)=ln(1+2v)
  • a(x)=sin(x), com a'(x)=cos(x)
  • b(x)=cos(x), com b'(x)=-sin(x).

Passo 4

Aplicando a fórmula obtemos
p'(x)=lnl(1+2cos(x)r)cdot(-sin(x));- lnl(1+2sin(x)r)cdotcos(x)

Resposta

p’(x)=-\sin(x),\ln\bigl(1+2\cos(x)\bigr)-\cos(x),\ln\bigl(1+2\sin(x)\bigr)

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