Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
T(x, y, z)=20-x^2-y^2-z^2
Uma partícula P1, localizada no ponto P1(2,3,4), necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula P2, localizada no ponto P2(0,-1,0), necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
  1. Qual será a direçāo e o sentido que a partícula P1 deve tomar?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura varia no espaço usando uma função de três variáveis:
T(x, y, z) = 20 - x^2 - y^2 - z^2
Temos duas partículas, a P1(2,3,4) que quer aquecer o mais rápido possível, e a P2(0,-1,0) que quer se resfriar o mais rápido possível. Hoje, vamos focar na primeira parte: descobrir em qual direção e sentido a partícula P1 deve se mover para aquecer rapidamente. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função temperatura, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima inclinação (ou seja, onde a temperatura aumenta mais rápido).

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função temperatura T(x, y, z). O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
nabla T(x, y, z) = ( partial Tpartial x, partial Tpartial y, partial Tpartial z )
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • Derivada parcial em relação a x:
partial Tpartial x = -2x
  • Derivada parcial em relação a y:
partial Tpartial y = -2y
  • Derivada parcial em relação a z:
partial Tpartial z = -2z
Portanto, o gradiente fica:
nabla T(x, y, z) = (-2x, -2y, -2z)

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a partícula P1 está, que é P1(2,3,4). Substituindo esses valores na expressão do gradiente:
nabla T(2, 3, 4) = (-2 times 2, -2 times 3, -2 times 4) = (-4, -6, -8)
Esse vetor (-4, -6, -8) aponta na direção de maior aumento de temperatura no ponto P1.

Passo 4

Para determinar a direção em que P1 deve se mover, queremos um vetor direcional. Podemos simplificar o vetor gradiente para encontrar apenas a direção, sem nos preocupar com o tamanho. Uma maneira de fazer isso é normalizar o vetor, ou seja, transformar o vetor em um vetor unitário:
Magnitude do gradiente = raiz(-4)^2 + (-6)^2 + (-8)^2 = raiz16 + 36 + 64 = raiz116 approx 10,77
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
( -410,77, -610,77, -810,77 ) approx (-0,37, -0,56, -0,74)
Isso nos dá a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.

Resposta

A partícula P1 deve se mover na direção do vetor (-4, -6, -8), ou seja, na direção de (-0,37, -0,56, -0,74) para aquecer o mais rápido possível.

Exercícios relacionados