Em uma regiāo do espaço, a temperatura pode variar de acordo com uma função de três variáveis:
Uma partícula
, localizada no ponto
, necessita aquecer-se o mais rápido possível.
Outra partícula
, localizada no ponto
, necessita resfriar-se o mais rápido possível.
Pede-se:
- Qual será a direçāo e o sentido que a partícula
deve tomar?
Outra partícula
Pede-se:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre como a temperatura varia no espaço usando uma função de três variáveis:
Temos duas partículas, a
que quer aquecer o mais rápido possível, e a
que quer se resfriar o mais rápido possível. Hoje, vamos focar na primeira parte: descobrir em qual direção e sentido a partícula
deve se mover para aquecer rapidamente. Para isso, vamos usar o conceito de gradiente da função temperatura, que nos ajuda a encontrar a direção de máxima inclinação (ou seja, onde a temperatura aumenta mais rápido).
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular o gradiente da função temperatura
. O gradiente é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a cada variável:
Vamos calcular cada derivada parcial:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Portanto, o gradiente fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto onde a partícula
está, que é
. Substituindo esses valores na expressão do gradiente:
Esse vetor
aponta na direção de maior aumento de temperatura no ponto
.
Passo 4
Para determinar a direção em que
deve se mover, queremos um vetor direcional. Podemos simplificar o vetor gradiente para encontrar apenas a direção, sem nos preocupar com o tamanho. Uma maneira de fazer isso é normalizar o vetor, ou seja, transformar o vetor em um vetor unitário:
Então, o vetor unitário na direção do gradiente é:
Isso nos dá a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente.
Resposta
A partícula
deve se mover na direção do vetor
, ou seja, na direção de
para aquecer o mais rápido possível.