Para cada sistema apresentado a seguir determine a constante de tempo e o ganho em estado estacionário. Faça um esboço da resposta ao degrau para cada um dos sistemas acima.
a) G(s)=\frac{5}{4 s+8}
a) G(s)=\frac{5}{4 s+8}
Passo 1
O enunciado fornece o sistema de função de transferência
e pede:
- determinar a constante de tempo;
- determinar o ganho em regime permanente (ganho DC);
- fazer um esboço da resposta ao degrau (assumindo entrada degrau unitário).
Informações relevantes dadas: a expressão algébrica deacima. Não há outras condições fornecidas.
Passo 2
Vamos entender o que significa “constante de tempo” e “ganho em regime permanente” para um sistema de primeira ordem, de modo bem prático.
- Constante de tempo
: para uma função de transferência escrita na forma canônica , o parâmetro é a constante de tempo. Fisicamente, é o tempo característico em que a resposta ao degrau alcança cerca de do valor final. - Ganho em regime permanente (DC gain): é o valor final da saída quando a entrada é um degrau unitário; pode-se obter por
ou pelo Teorema do Valor Final: para entrada unitária.
Agora vamos aplicar essas ideias aodado.
Passo 3
Colocamos
numa forma mais próxima da canônica. Primeiro fatoramos o denominador:
Logo
Queremos a forma
. Observe que
Substituindo em
:
Portanto, comparando com
, temos:
Passo 4
Verificação alternativa (pelo polo): escrevendo o denominador original
dá polo
. Para um sistema de primeira ordem o polo é
. Assim
coincidindo com o passo anterior. Bom sinal de consistência.
Passo 5
Cálculo do ganho em regime permanente (ganho DC). Podemos usar
:
Também é consistente com o
encontrado na forma canônica. Então o valor final da saída para um degrau unitário é
.
Passo 6
Agora a resposta ao degrau em tempo. Para um sistema de primeira ordem com ganho
e constante
, a resposta ao degrau unitário é
Substituindo
e
:
Características úteis para a prova (calcule sem calculadora aproximando exponenciais se necessário):
-
. - Valor final
. - Em
temos . Isso mostra que em s a saída já alcança cerca de do valor final. - Inclinação inicial (derivada em
): .
Passo 7
Esboço qualitativo da resposta ao degrau (descrição e um pequeno desenho ASCII):
- Começa em
no instante . - Cresce exponencialmente, com taxa caracterizada por
(decai a exponencial com constante no expoente: ). - Assintota em
.
Esboço ASCII (eixo vertical, horizontal ; marcas aproximadas):
(na prova, um esboço do tipo acima com indicação de
,
e assíntota é suficiente.)