Para cada sistema apresentado a seguir determine a constante de tempo e o ganho em estado estacionário. Faça um esboço da resposta ao degrau para cada um dos sistemas acima.
a) G(s)=\frac{5}{4 s+8}

Passo 1

O enunciado fornece o sistema de função de transferência \displaystyle G(s)=\frac{5}{4s+8} e pede:
  • determinar a constante de tempo;
  • determinar o ganho em regime permanente (ganho DC);
  • fazer um esboço da resposta ao degrau (assumindo entrada degrau unitário).
    Informações relevantes dadas: a expressão algébrica de G(s) acima. Não há outras condições fornecidas.

Passo 2

Vamos entender o que significa “constante de tempo” e “ganho em regime permanente” para um sistema de primeira ordem, de modo bem prático.
  • Constante de tempo \tau: para uma função de transferência escrita na forma canônica \displaystyle \frac{K}{\tau s + 1}, o parâmetro \tau é a constante de tempo. Fisicamente, é o tempo característico em que a resposta ao degrau alcança cerca de 63{,}2\% do valor final.
  • Ganho em regime permanente (DC gain): é o valor final da saída quando a entrada é um degrau unitário; pode-se obter por \displaystyle G(0) ou pelo Teorema do Valor Final: \displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{s\to 0}sY(s)=\lim_{s\to0}G(s) para entrada unitária.
    Agora vamos aplicar essas ideias ao G(s) dado.

Passo 3

Colocamos \displaystyle G(s)=\frac{5}{4s+8} numa forma mais próxima da canônica. Primeiro fatoramos o denominador:
4s+8 = 4(s+2).
Logo
G(s)=\frac{5}{4(s+2)}=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{s+2}.
Queremos a forma \displaystyle \frac{K}{\tau s +1}. Observe que
\frac{1}{s+2} = \frac{1}{2\big(\tfrac{1}{2}s+1\big)} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{2}s+1}.
Substituindo em G(s):
G(s)=\frac{5}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{2}s+1}=\frac{5}{8}\cdot\frac{1}{\tfrac{1}{2}s+1}.
Portanto, comparando com \displaystyle \frac{K}{\tau s +1}, temos:
K=\frac{5}{8},\qquad \tau=\frac{1}{2}.

Passo 4

Verificação alternativa (pelo polo): escrevendo o denominador original 4s+8=0 dá polo s=-2. Para um sistema de primeira ordem o polo é s=-\tfrac{1}{\tau}. Assim
-\frac{1}{\tau}=-2 \quad\Rightarrow\quad \tau=\frac{1}{2},
coincidindo com o passo anterior. Bom sinal de consistência.

Passo 5

Cálculo do ganho em regime permanente (ganho DC). Podemos usar G(0):
G(0)=\frac{5}{4\cdot 0 + 8}=\frac{5}{8}.
Também é consistente com o K encontrado na forma canônica. Então o valor final da saída para um degrau unitário é \displaystyle \frac{5}{8}.

Passo 6

Agora a resposta ao degrau em tempo. Para um sistema de primeira ordem com ganho K e constante \tau, a resposta ao degrau unitário é
y(t)=K\big(1-e^{-t/\tau}\big),\qquad t\ge 0.
Substituindo K=\tfrac{5}{8} e \tau=\tfrac{1}{2}:
y(t)=\frac{5}{8}\Big(1-e^{-t/(1/2)}\Big)=\frac{5}{8}\Big(1-e^{-2t}\Big),\qquad t\ge 0.
Características úteis para a prova (calcule sem calculadora aproximando exponenciais se necessário):
  • y(0)=0.
  • Valor final \displaystyle y(\infty)=\frac{5}{8}=0{,}625.
  • Em t=\tau=\tfrac{1}{2} temos y(\tau)=\frac{5}{8}\big(1-e^{-1}\big)\approx \frac{5}{8}\cdot 0{,}632\approx 0{,}395. Isso mostra que em 0{,}5 s a saída já alcança cerca de 63{,}2\% do valor final.
  • Inclinação inicial (derivada em t=0^+): y'(0)=\dfrac{K}{\tau}=\dfrac{5/8}{1/2}=\dfrac{5}{4}=1{,}25.

Passo 7

Esboço qualitativo da resposta ao degrau (descrição e um pequeno desenho ASCII):
  • Começa em 0 no instante t=0.
  • Cresce exponencialmente, com taxa caracterizada por \tau=\tfrac{1}{2} (decai a exponencial com constante 2 no expoente: e^{-2t}).
  • Assintota em y=\tfrac{5}{8}=0{,}625.
    Esboço ASCII (eixo vertical y, horizontal t; marcas aproximadas):
\begin{array}{l} \text{y}\\\\ 0{,}65\;|\quad\;-------------------------\;(\text{assíntota }0{,}625)\\\\ 0{,}50\;| \quad\;\\ \\ /\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\\\ 0{,}40\;| \quad\\ / \\ \\ \\ \\ \\ (t=\tau=0{,}5,\\ y\approx0{,}395)\\\\ 0{,}25\;| \quad/\\\\ 0{,}00\;|/________________________________\;t \end{array}
(na prova, um esboço do tipo acima com indicação de y(0)=0, y(\tau) e assíntota é suficiente.)

Resposta

\displaystyle \tau=\tfrac{1}{2}.
\displaystyle \text{Ganho em regime permanente (DC)}=G(0)=\tfrac{5}{8}.
\displaystyle \text{Resposta ao degrau unitário: }y(t)=\frac{5}{8}\Big(1-e^{-2t}\Big),\\ t\ge0.á

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