(25 pts) Considere os vetores u=2 i-3 j+k e v=2 i-3 j
(a) (5 pts) Considere o triângulo cujos dois lados são determinados pelos vetores u e v. Encontre um vetor w correspondente ao terceiro lado.
(b) (5 pts) Determine o ângulo entre os vetores v e w.
(c) ( 15 pts) Calcule a área do triângulo.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores u=2i-3j+k e v=2i-3j. O conteúdo é geometria vetorial: (a) fechar o polígono para achar o terceiro lado w, (b) usar produto escalar para determinar o ângulo entre v e w e (c) usar produto vetorial para calcular a área do triângulo formado por u e v.

Passo 2

Para fechar o triângulo, basta ter
u-v+v=u=w+v,
ou seja escolhemos
w=u-v
Em coordenadas isso dá
u-v=(2-2),i+(-3+3),j+(1-0),k=k

Passo 3

O ângulo theta entre v e w vem de
costheta=vcdotw|v||w|
Como
vcdotw=2cdot0+(-3)cdot0+0cdot1=0, |v|=raiz2^2+(-3)^2=raiz13, |w|=1,
segue costheta=0 e portanto theta=90^circ.

Passo 4

A área do triângulo é
12l|utimesvr|
Calculando o produto vetorial:
utimesv =i&j&k 2&-3&1 2&-3&0 =3,i+2,j+0,k,
então
|utimesv|=raiz3^2+2^2=raiz13,
e a área é
12raiz13=raiz132

Resposta

(a) w=k.
(b) theta=90^circ.
(c) raiz132.

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