[25] Seja
um função contínua no intervalo
e diferenciável em
, que assume os valores
,
. Justifique por que as seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) A equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
(b) A função
admite um ponto crítico no intervalo
.
(a) A equação
(b) A função
Passo 1
O enunciado diz que
é contínua em
e diferenciável em
, com
Para (a) usaremos o Teorema do Valor Intermediário e para (b) o Teorema de Rolle.
Passo 2
Como
e
é contínua em
, o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
tal que
Passo 3
Como
, e
é contínua em
e diferenciável em
, o Teorema de Rolle assegura que existe
tal que
Resposta
(a) Pelo Teorema do Valor Intermediário existe
com
.
(b) Pelo Teorema de Rolle existe com
.
(b) Pelo Teorema de Rolle existe