[25] Seja f um função contínua no intervalo [-1,2] e diferenciável em (-1,2), que assume os valores f(-1)=0, f(0)=4, f(1)=2, f(2)=2. Justifique por que as seguintes afirmações são verdadeiras.
(a) A equação f(x)=3 tem pelo menos uma solução no intervalo [-1,0].
(b) A função f admite um ponto crítico no intervalo (1,2).

Passo 1

O enunciado diz que f é contínua em [-1,2] e diferenciável em (-1,2), com
f(-1)=0, f(0)=4, f(1)=2, f(2)=2
Para (a) usaremos o Teorema do Valor Intermediário e para (b) o Teorema de Rolle.

Passo 2

Como f(-1)=0<3<4=f(0) e f é contínua em [-1,0], o Teorema do Valor Intermediário garante que existe
cin(-1,0)
tal que
f(c)=3

Passo 3

Como f(1)=2=f(2), e f é contínua em [1,2] e diferenciável em (1,2), o Teorema de Rolle assegura que existe
din(1,2)
tal que
f'(d)=0

Resposta

(a) Pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(-1,0) com f(c)=3.
(b) Pelo Teorema de Rolle existe din(1,2) com f'(d)=0.

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