Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial
a) F(x, y)=(e^x+y+1, e^x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se F(x,y)=(e^x+y+1,;e^x+y) é um campo conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial phi tal que nablaphi=F. Para isso vamos usar o critério em R^2: domínio simplesmente conexo e igualdade das derivadas cruzadas.

Passo 2

Identificamos
P(x,y)=e^x+y+1,
Q(x,y)=e^x+y
O domínio de vec F é todo R^2, que é simplesmente conexo. Calculamos as derivadas cruzadas:
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^x+y+1r) =e^x+y,
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^x+yr) =e^x+y
Como partial P/partial y=partial Q/partial x em todo o domínio, vec F é conservativo.

Passo 3

Para achar a potencial phi(x,y), integramos P em relação a x:
phi(x,y) =integral (e^x+y+1),dx =e^x+y+x+h(y),
onde h(y) é uma função “sobrando” de y.

Passo 4

Impondo partialphi/partial y=Q, obtemos
partialphipartial y =partialpartial yl(e^x+y+x+h(y)r) =e^x+y+h'(y) stackrel!=e^x+y
Logo h'(y)=0, ou seja, h(y) é constante.

Resposta

Uma função potencial é
phi(x,y)=e^x+y+x+C,
onde C é constante arbitrária.

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