Determine se os seguintes campos são conservativos e, em caso afirmativo, ache seu potencial
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um campo conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. Para isso vamos usar o critério em
: domínio simplesmente conexo e igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 2
Identificamos
O domínio de
é todo
, que é simplesmente conexo. Calculamos as derivadas cruzadas:
Como
em todo o domínio,
é conservativo.
Passo 3
Para achar a potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função “sobrando” de
.
Passo 4
Impondo
, obtemos
Logo
, ou seja,
é constante.
Resposta
Uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.