Determine as reações nos apoios da viga que está submetida a uma combinação de carg distribuídas uniforme e parabólica.
◯ a. B x=4 \mathrm{kN}, B y=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ b. \mathrm{Bx}=4 \mathrm{kN}, \mathrm{Ay}=1,111 \mathrm{kN} e \mathrm{By}=5,56 \mathrm{kN}
◯ c. A x=4 \mathrm{kN}, B y=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ d. B y=4 \mathrm{kN}, B x=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ e. B y=4 \mathrm{kN}, A x=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
A lei de carga ao longo da viga horizontal é dada por w(x)=w_0+kx^2.
Valor da carga no extremo esquerdo: w(0)=2\\ \mathrm{kN/m}.
Valor da carga no extremo direito (no canto): w(L)=6\\ \mathrm{kN/m}.
Distâncias ao longo da viga horizontal (da esquerda para a direita; peguei estes comprimentos da imagem): 0{,}6\\ \mathrm{m}, 1{,}4\\ \mathrm{m}, 0{,}4\\ \mathrm{m} e 0{,}6\\ \mathrm{m}. Portanto o comprimento total da parte horizontal éL=0{,}6+1{,}4+0{,}4+0{,}6=3{,}0\\ \mathrm{m}.
Posição do apoio A: a x_A=0{,}6\\ \mathrm{m} a partir do extremo esquerdo (apoio com reação horizontal e vertical).
Posição do apoio B: a x_B=2{,}4\\ \mathrm{m} a partir do extremo esquerdo (apoio que só reage verticalmente).
Há uma força concentrada horizontal aplicada no topo do montante vertical na extremidade direita: F_H=4\\ \mathrm{kN} para a esquerda, aplicada a 0{,}5\\ \mathrm{m} acima do eixo neutro da viga (peguei esse dado da imagem).
O enunciado pede: determinar as reações nos apoios (componentes horizontais e verticais em A e B).
Passo 2
Encontrar a constante k da lei w(x)=w_0+kx^2.
Sabemos que w(0)=w_0=2\\ \mathrm{kN/m}.
No extremo direito x=L=3{,}0\\ \mathrm{m} tem w(3)=6\\ \mathrm{kN/m}. Logo6 = 2 + k\cdot 3^2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{6-2}{9}=\frac{4}{9}\\ \mathrm{kN/m^3}.
Portantow(x)=2+\frac{4}{9}x^2\quad (\text{com }x\text{ em m, }w\text{ em kN/m}).
Passo 3
Calcular a resultante vertical (força total) da distribuição w(x) e sua posição (centro de carga).
Força resultante (módulo) da carga distribuída:W=\int_{0}^{3}\! w(x)\,dx=\int_{0}^{3}\!\left(2+\frac{4}{9}x^2\right)\,dx.Calculemos a integral passo a passo:\int_{0}^{3}2\,dx=2x\Big|_{0}^{3}=6,
Primeiro momento estático em relação à origem (extremo esquerdo):M_x=\int_{0}^{3} x\,w(x)\,dx=\int_{0}^{3}\left(2x+\frac{4}{9}x^3\right)\,dx.Calculemos:\int_{0}^{3}2x\,dx=x^2\Big|_{0}^{3}=9,
Observação da geometria/apoios: o apoio B mostrado na figura é um apoio que só fornece reação vertical (rolete), ou seja B_x=0. Portanto
A_x=F_H=4\\ \mathrm{kN}.
(Explicando didaticamente: um apoio do tipo rolete não impede movimento horizontal, apenas vertical; já o apoio em A é do tipo que resiste à componente horizontal. Assim toda a força horizontal é equilibrada por A_x.)
Passo 5
Equilíbrios verticais e de momentos para encontrar A_y e B_y.
Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais):
\sum F_y=0 \quad\Rightarrow\quad A_y + B_y - W = 0.
Substituindo W=10\\ \mathrm{kN}:
A_y + B_y = 10\\ \mathrm{kN}.
Equilíbrio de momentos tomando momentos em torno de A (para eliminar A_y e encontrar B_y).
Distâncias (peguei da imagem):x_A=0{,}6\\ \mathrm{m},\qquad x_B=2{,}4\\ \mathrm{m},\qquad \bar{x}=1{,}8\\ \mathrm{m}.Assim a distância horizontal entre A e B éx_{B/A}=x_B-x_A=2{,}4-0{,}6=1{,}8\\ \mathrm{m},e a distância do resultado W ao apoio A é\bar{x}-x_A=1{,}8-0{,}6=1{,}2\\ \mathrm{m}.
Além disso há um momento aplicado pela força horizontal F_H devido ao braço vertical de 0{,}5\\ \mathrm{m}. Essa força horizontal gera um momento livre (um par) sobre a viga igual aM_{F_H} = F_H\cdot 0{,}5 = 4\cdot 0{,}5 = 2\\ \mathrm{kN\cdot m}.Observação didática: mesmo não tendo componente vertical, uma força horizontal aplicada a uma distância vertical da linha do eixo da viga gera um momento (par) que entra na equação de equilíbrio de momentos da viga.
Escrevendo o somatório de momentos em torno de A (tomando sinais: momentos que tendem a girar no sentido positivo CCW como positivos):\sum M_A=0 \quad\Rightarrow\quad B_y\cdot x_{B/A} - W\cdot(\bar{x}-x_A) + M_{F_H} = 0.Substituindo números:B_y\cdot 1{,}8 - 10\cdot 1{,}2 + 2 = 0.Calcule:B_y\cdot 1{,}8 - 12 + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad B_y\cdot 1{,}8 = 10.LogoB_y=\frac{10}{1{,}8}=5{,}555\ldots\\ \mathrm{kN}\approx 5{,}56\\ \mathrm{kN}.
Confirmação rápida: somatório vertical 4{,}444+5{,}556=10{,}000\\ \mathrm{kN} (ok). Momento em torno de A com esses valores retorna zero (ok).
Passo 7
Das alternativas apresentadas nenhuma coincide exatamente com o conjunto de reações que encontramos \bigl(A_x=4{,}0\\ \mathrm{kN},\\ A_y\approx 4{,}444\\ \mathrm{kN},\\ B_y\approx 5{,}556\\ \mathrm{kN}\bigr).
A alternativa que contém A_x=4\\ \mathrm{kN} é a alternativa (c), mas nessa alternativa os valores verticais estão trocados/errados (A_y e B_y diferentes do cálculo correto). Portanto, se a pergunta exige escolher entre as letras dadas, estritamente falando nenhuma coincide com os valores corretamente calculados.