Determine as reações nos apoios da viga que está submetida a uma combinação de carg distribuídas uniforme e parabólica.
◯ a. B x=4 \mathrm{kN}, B y=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ b. \mathrm{Bx}=4 \mathrm{kN}, \mathrm{Ay}=1,111 \mathrm{kN} e \mathrm{By}=5,56 \mathrm{kN}
◯ c. A x=4 \mathrm{kN}, B y=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ d. B y=4 \mathrm{kN}, B x=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}
◯ e. B y=4 \mathrm{kN}, A x=1,111 \mathrm{kN} e A y=5,56 \mathrm{kN}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado e a figura nos dão (peguei estes números da imagem enviada).
  • A lei de carga ao longo da viga horizontal é dada por w(x)=w_0+kx^2.
  • Valor da carga no extremo esquerdo: w(0)=2\\ \mathrm{kN/m}.
  • Valor da carga no extremo direito (no canto): w(L)=6\\ \mathrm{kN/m}.
  • Distâncias ao longo da viga horizontal (da esquerda para a direita; peguei estes comprimentos da imagem): 0{,}6\\ \mathrm{m}, 1{,}4\\ \mathrm{m}, 0{,}4\\ \mathrm{m} e 0{,}6\\ \mathrm{m}. Portanto o comprimento total da parte horizontal é L=0{,}6+1{,}4+0{,}4+0{,}6=3{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Posição do apoio A: a x_A=0{,}6\\ \mathrm{m} a partir do extremo esquerdo (apoio com reação horizontal e vertical).
  • Posição do apoio B: a x_B=2{,}4\\ \mathrm{m} a partir do extremo esquerdo (apoio que só reage verticalmente).
  • Há uma força concentrada horizontal aplicada no topo do montante vertical na extremidade direita: F_H=4\\ \mathrm{kN} para a esquerda, aplicada a 0{,}5\\ \mathrm{m} acima do eixo neutro da viga (peguei esse dado da imagem).
  • O enunciado pede: determinar as reações nos apoios (componentes horizontais e verticais em A e B).

Passo 2

Encontrar a constante k da lei w(x)=w_0+kx^2.
  • Sabemos que w(0)=w_0=2\\ \mathrm{kN/m}.
  • No extremo direito x=L=3{,}0\\ \mathrm{m} tem w(3)=6\\ \mathrm{kN/m}. Logo 6 = 2 + k\cdot 3^2 \quad\Rightarrow\quad k=\frac{6-2}{9}=\frac{4}{9}\\ \mathrm{kN/m^3}.
  • Portanto w(x)=2+\frac{4}{9}x^2\quad (\text{com }x\text{ em m, }w\text{ em kN/m}).

Passo 3

Calcular a resultante vertical (força total) da distribuição w(x) e sua posição (centro de carga).
  • Força resultante (módulo) da carga distribuída: W=\int_{0}^{3}\! w(x)\,dx=\int_{0}^{3}\!\left(2+\frac{4}{9}x^2\right)\,dx.Calculemos a integral passo a passo: \int_{0}^{3}2\,dx=2x\Big|_{0}^{3}=6,
\int_{0}^{3}\frac{4}{9}x^2\,dx=\frac{4}{9}\cdot\frac{x^3}{3}\Big|_{0}^{3}=\frac{4}{9}\cdot\frac{27}{3}=\frac{4}{9}\cdot9=4.
Logo
W=6+4=10\\ \mathrm{kN}.
  • Primeiro momento estático em relação à origem (extremo esquerdo): M_x=\int_{0}^{3} x\,w(x)\,dx=\int_{0}^{3}\left(2x+\frac{4}{9}x^3\right)\,dx.Calculemos: \int_{0}^{3}2x\,dx=x^2\Big|_{0}^{3}=9,
\int_{0}^{3}\frac{4}{9}x^3\,dx=\frac{4}{9}\cdot\frac{x^4}{4}\Big|_{0}^{3}=\frac{1}{9}x^4\Big|_{0}^{3}=\frac{1}{9}\cdot81=9.
Assim
M_x=9+9=18\\ \mathrm{kN\cdot m}.
  • A coordenada do centro de carga (baricentro) é \bar{x}=\frac{M_x}{W}=\frac{18}{10}=1{,}8\\ \mathrm{m}medida a partir do extremo esquerdo.

Passo 4

Equilíbrios estáticos: primeiro as equações de equilíbrio que aplicam aqui.
  • Equilíbrio horizontal (somatório de forças horizontais):
    \sum F_x=0 \quad\Rightarrow\quad A_x + B_x - F_H = 0.
    Observação da geometria/apoios: o apoio B mostrado na figura é um apoio que só fornece reação vertical (rolete), ou seja B_x=0. Portanto
    A_x=F_H=4\\ \mathrm{kN}.
    (Explicando didaticamente: um apoio do tipo rolete não impede movimento horizontal, apenas vertical; já o apoio em A é do tipo que resiste à componente horizontal. Assim toda a força horizontal é equilibrada por A_x.)

Passo 5

Equilíbrios verticais e de momentos para encontrar A_y e B_y.
  • Equilíbrio vertical (somatório de forças verticais):
    \sum F_y=0 \quad\Rightarrow\quad A_y + B_y - W = 0.
    Substituindo W=10\\ \mathrm{kN}:
    A_y + B_y = 10\\ \mathrm{kN}.
  • Equilíbrio de momentos tomando momentos em torno de A (para eliminar A_y e encontrar B_y).
    • Distâncias (peguei da imagem): x_A=0{,}6\\ \mathrm{m},\qquad x_B=2{,}4\\ \mathrm{m},\qquad \bar{x}=1{,}8\\ \mathrm{m}.Assim a distância horizontal entre A e B é x_{B/A}=x_B-x_A=2{,}4-0{,}6=1{,}8\\ \mathrm{m},e a distância do resultado W ao apoio A é \bar{x}-x_A=1{,}8-0{,}6=1{,}2\\ \mathrm{m}.
    • Além disso há um momento aplicado pela força horizontal F_H devido ao braço vertical de 0{,}5\\ \mathrm{m}. Essa força horizontal gera um momento livre (um par) sobre a viga igual a M_{F_H} = F_H\cdot 0{,}5 = 4\cdot 0{,}5 = 2\\ \mathrm{kN\cdot m}.Observação didática: mesmo não tendo componente vertical, uma força horizontal aplicada a uma distância vertical da linha do eixo da viga gera um momento (par) que entra na equação de equilíbrio de momentos da viga.
    • Escrevendo o somatório de momentos em torno de A (tomando sinais: momentos que tendem a girar no sentido positivo CCW como positivos): \sum M_A=0 \quad\Rightarrow\quad B_y\cdot x_{B/A} - W\cdot(\bar{x}-x_A) + M_{F_H} = 0.Substituindo números: B_y\cdot 1{,}8 - 10\cdot 1{,}2 + 2 = 0.Calcule: B_y\cdot 1{,}8 - 12 + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad B_y\cdot 1{,}8 = 10.Logo B_y=\frac{10}{1{,}8}=5{,}555\ldots\\ \mathrm{kN}\approx 5{,}56\\ \mathrm{kN}.

Passo 6

Determinar A_y e conferir consistência.
  • Usando A_y+B_y=10\\ \mathrm{kN}:
    A_y=10-B_y=10-5{,}555\ldots=4{,}444\ldots\\ \mathrm{kN}\approx 4{,}44\\ \mathrm{kN}.
  • Recapitulando as reações calculadas:
    A_x=4{,}0\\ \mathrm{kN},\qquad A_y\approx 4{,}444\\ \mathrm{kN},\qquad B_y\approx 5{,}556\\ \mathrm{kN}.
  • Confirmação rápida: somatório vertical 4{,}444+5{,}556=10{,}000\\ \mathrm{kN} (ok). Momento em torno de A com esses valores retorna zero (ok).

Passo 7

  • Das alternativas apresentadas nenhuma coincide exatamente com o conjunto de reações que encontramos \bigl(A_x=4{,}0\\ \mathrm{kN},\\ A_y\approx 4{,}444\\ \mathrm{kN},\\ B_y\approx 5{,}556\\ \mathrm{kN}\bigr).
  • A alternativa que contém A_x=4\\ \mathrm{kN} é a alternativa (c), mas nessa alternativa os valores verticais estão trocados/errados ( A_y e B_y diferentes do cálculo correto). Portanto, se a pergunta exige escolher entre as letras dadas, estritamente falando nenhuma coincide com os valores corretamente calculados.

Resposta

A_x = 4{,}0\\ \mathrm{kN}, A_y = 4{,}444\\ \mathrm{kN} (aprox. 4{,}44\\ \mathrm{kN}), B_y = 5{,}556\\ \mathrm{kN} (aprox. 5{,}56\\ \mathrm{kN}).

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