25)Um jogador de futebol deve bater uma falta.A bola deverá ultrapassar a barreira formada 10 m à sua frente.Despreze efeitos de resistência do ar e das dimensões da bola.Considere um ângulo de lançamento de
,e uma velocidade inicial de lançamento
.Determine qual é a altura máxima dos jogadores da barreira para que a bola a ultrapasse.
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede a seguinte coisa:
- A bola é chutada com velocidade inicial
. - O ângulo de lançamento é
. - A barreira está a uma distância horizontal de
do ponto de lançamento. - A aceleração da gravidade vale
. - Despreza-se resistência do ar e dimensões da bola.
Pergunta pedida: determinar qual é a altura máxima dos jogadores da barreira para que a bola a ultrapasse (ou seja, a altura máxima que a barreira pode ter para a bola passar por cima quando estiver na posição horizontal
).
Passo 2
Vamos escolher um sistema de referência simples e definir as equações do movimento (a explicação é passo a passo, tipo manual de prova).
- Origem em
no ponto de lançamento. - Eixo
horizontal (positivo para frente) e eixo vertical (positivo para cima). - As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são
e .
As fórmulas do movimento (para um projétil sem resistência do ar) são:
Aqui
é o tempo desde o lançamento,
é a componente horizontal da velocidade inicial e
é a componente vertical.
Passo 3
Agora vamos calcular as componentes da velocidade inicial. Como o ângulo é
, conhecemos que
. Portanto:
Substituindo
:
Passo 4
Simplificamos as expressões anteriores. Note que
. Assim:
É bom entender a física por trás disso: num lançamento a
as componentes horizontal e vertical são iguais — então ambas valem
.
Passo 5
Queremos a altura da bola quando ela estiver horizontalmente a
. Primeiro achamos o tempo
tal que
. Usando
:
Vamos simplificar essa fração passo a passo:
Uma forma alternativa de escrever é
, pois
.
Passo 6
Agora calculamos
no tempo encontrado. A fórmula é
Substituímos
,
e
:
Primeiro termo:
Aqui
cancela com
, sobrando
Segundo termo:
(Detalhe do cálculo:
. Multiplicando por
dá
.)
Portanto
Passo 7
Interpretação final: quando a bola percorre horizontalmente
ela está a
de altura. Para a bola ultrapassar a barreira a essa distância, a altura máxima permitida para os jogadores da barreira é
(se forem exatamente
, a bola tocaria o topo; para “ultrapassar” com folga, a altura deve ser um pouco menor).
Dica rápida para a prova: existe também uma fórmula direta da trajetória em função de
,
substituindo
,
,
dá o mesmo resultado
. Serve como atalho.