25)Um jogador de futebol deve bater uma falta.A bola deverá ultrapassar a barreira formada 10 m à sua frente.Despreze efeitos de resistência do ar e das dimensões da bola.Considere um ângulo de lançamento de 45^{\circ}, \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ,e uma velocidade inicial de lançamento v_{0}=5 \sqrt{5} \mathrm{~m} / \mathrm{s} .Determine qual é a altura máxima dos jogadores da barreira para que a bola a ultrapasse.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede a seguinte coisa:
  • A bola é chutada com velocidade inicial \;v_{0}=5\sqrt{5}\\ \mathrm{m/s}.
  • O ângulo de lançamento é \;45^\circ.
  • A barreira está a uma distância horizontal de \;10\\ \mathrm{m} do ponto de lançamento.
  • A aceleração da gravidade vale \;g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Despreza-se resistência do ar e dimensões da bola.
Pergunta pedida: determinar qual é a altura máxima dos jogadores da barreira para que a bola a ultrapasse (ou seja, a altura máxima que a barreira pode ter para a bola passar por cima quando estiver na posição horizontal x=10\\ \mathrm{m}).

Passo 2

Vamos escolher um sistema de referência simples e definir as equações do movimento (a explicação é passo a passo, tipo manual de prova).
  • Origem em (x,y)=(0,0) no ponto de lançamento.
  • Eixo x horizontal (positivo para frente) e eixo y vertical (positivo para cima).
  • As componentes horizontal e vertical da velocidade inicial são \;v_{0x} e \;v_{0y}.
As fórmulas do movimento (para um projétil sem resistência do ar) são:
x(t)=v_{0x}\,t
y(t)=v_{0y}\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}
Aqui t é o tempo desde o lançamento, v_{0x} é a componente horizontal da velocidade inicial e v_{0y} é a componente vertical.

Passo 3

Agora vamos calcular as componentes da velocidade inicial. Como o ângulo é \;45^\circ, conhecemos que \sin45^\circ=\cos45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Portanto:
v_{0x}=v_{0}\cos45^\circ,\qquad v_{0y}=v_{0}\sin45^\circ.
Substituindo \;v_{0}=5\sqrt{5}:
v_{0x}=5\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad v_{0y}=5\sqrt{5}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 4

Simplificamos as expressões anteriores. Note que \sqrt{5}\sqrt{2}=\sqrt{10}. Assim:
v_{0x}=v_{0y}=\frac{5}{2}\sqrt{10}.
É bom entender a física por trás disso: num lançamento a 45^\circ as componentes horizontal e vertical são iguais — então ambas valem \dfrac{5\sqrt{10}}{2}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Queremos a altura da bola quando ela estiver horizontalmente a x=10\\ \mathrm{m}. Primeiro achamos o tempo \;t tal que x(t)=10. Usando x(t)=v_{0x}t:
t=\frac{10}{v_{0x}}=\frac{10}{\tfrac{5}{2}\sqrt{10}}.
Vamos simplificar essa fração passo a passo:
t=\frac{10}{\tfrac{5}{2}\sqrt{10}}=10\cdot\frac{2}{5\sqrt{10}}=\frac{20}{5\sqrt{10}}=\frac{4}{\sqrt{10}}.
Uma forma alternativa de escrever é t=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}, pois \dfrac{4}{\sqrt{10}}=\dfrac{4\sqrt{10}}{10}=\dfrac{2\sqrt{10}}{5}.

Passo 6

Agora calculamos y(t) no tempo encontrado. A fórmula é
y(t)=v_{0y}\,t-\frac{1}{2}g\,t^{2}.
Substituímos v_{0y}=\dfrac{5}{2}\sqrt{10}, g=10 e t=\dfrac{4}{\sqrt{10}}:
Primeiro termo:
v_{0y}\,t=\left(\frac{5}{2}\sqrt{10}\right)\left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right).
Aqui \sqrt{10} cancela com \dfrac{1}{\sqrt{10}}, sobrando
v_{0y}\,t=\frac{5}{2}\cdot 4=10.
Segundo termo:
\frac{1}{2}g\,t^{2}=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot\left(\frac{4}{\sqrt{10}}\right)^{2}=5\cdot\frac{16}{10}=5\cdot\frac{8}{5}=8.
(Detalhe do cálculo: \left(\dfrac{4}{\sqrt{10}}\right)^{2}=\dfrac{16}{10}=1,6. Multiplicando por 5 8.)
Portanto
y(t)=10-8=2\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Interpretação final: quando a bola percorre horizontalmente 10\\ \mathrm{m} ela está a 2\\ \mathrm{m} de altura. Para a bola ultrapassar a barreira a essa distância, a altura máxima permitida para os jogadores da barreira é 2\\ \mathrm{m} (se forem exatamente 2\\ \mathrm{m}, a bola tocaria o topo; para “ultrapassar” com folga, a altura deve ser um pouco menor).
Dica rápida para a prova: existe também uma fórmula direta da trajetória em função de x,
y(x)=x\tan\theta-\frac{g\,x^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}\theta},
substituindo x=10, \theta=45^\circ, v_{0}=5\sqrt{5} dá o mesmo resultado y(10)=2\\ \mathrm{m}. Serve como atalho.

Resposta

\,2\\ \mathrm{m}

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