Um canhão pode ter a elevação de seu cano alterado,para com isso alterar o local do impacto do projétil.A velocidade de saída do tiro é de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .Use \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
a) Calcule o tempo de impacto,a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de 30^{\circ}

Passo 1

O enunciado dá um canhão cuja velocidade de saída do projétil é 300\\ \mathrm{m/s} e pede, para uma inclinação de 30^\circ em relação à horizontal, os seguintes itens:
  • o tempo de impacto (tempo total de voo) do projétil;
  • a altura máxima atingida pelo projétil;
  • o alcance horizontal (distância horizontal percorrida até o impacto).
Informações relevantes que o enunciado fornece (e que usaremos):
  • velocidade inicial: \displaystyle v_0 = 300\\ \mathrm{m/s};
  • ângulo de lançamento: \displaystyle \theta = 30^\circ;
  • aceleração da gravidade: \displaystyle g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.
    Assumo que o projétil é lançado de e retorna ao mesmo nível (nível do canhão) e que não há resistência do ar.

Passo 2

Vamos decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical — isso é fundamental em movimentos de projétil porque as duas direções são independentes (horizontal: movimento retilíneo uniforme; vertical: movimento uniformemente acelerado).
Definições e fórmulas básicas:
  • componente horizontal da velocidade inicial:
v_{0x} = v_0\cos\theta
  • componente vertical da velocidade inicial:
v_{0y} = v_0\sin\theta
Aqui v_0 é a velocidade inicial (em \mathrm{m/s}), \theta é o ângulo de lançamento (em graus), v_{0x} e v_{0y} são em \mathrm{m/s}.
As equações do movimento vertical (origem y=0 no canhão) são:
y(t)=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2
v_y(t)=v_{0y}-gt
O movimento horizontal é
x(t)=v_{0x}t
Vamos aplicar essas fórmulas para encontrar tempo de voo, altura máxima e alcance.

Passo 3

Cálculo do tempo de impacto T.
O projétil volta ao mesmo nível do lançamento quando y(T)=0 (além de t=0). Usando a equação vertical:
0 = v_{0y}T - \frac{1}{2}gT^2.
Fatorando T (não nulo):
v_{0y} - \frac{1}{2}gT = 0 \quad\Rightarrow\quad T=\frac{2v_{0y}}{g}.
Substituindo v_{0y}=v_0\sin\theta:
T=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.
Agora substituir os valores numéricos. Sabemos \sin 30^\circ = \tfrac{1}{2}, então
T=\frac{2\cdot 300\cdot \tfrac{1}{2}}{10}=\frac{300}{10}=30\\ \mathrm{s}.
Portanto o tempo total de voo é \displaystyle 30\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da altura máxima H.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical é zero: v_y(t_\text{pico})=0. Usando v_y(t)=v_{0y}-gt,
0=v_{0y}-gt_\text{pico}\quad\Rightarrow\quad t_\text{pico}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{v_0\sin\theta}{g}.
Podemos calcular a altura máxima substituindo esse tempo em y(t) ou usando a fórmula direta (obtida por eliminar o tempo):
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.
Agora numericamente: v_0^2=300^2=90{,}000 e \sin^2 30^\circ = \left(\tfrac{1}{2}\right)^2=\tfrac{1}{4}. Assim
H=\frac{90{,}000\cdot \tfrac{1}{4}}{2\cdot 10}=\frac{22{,}500}{20}=1{,}125\\ \mathrm{m}.
Portanto a altura máxima é \displaystyle 1{,}125\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo do alcance R.
O alcance é a posição horizontal quando o projétil atinge o solo, ou seja R=x(T)=v_{0x}T. Usando v_{0x}=v_0\cos\theta e T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}:
R = v_0\cos\theta\cdot \frac{2v_0\sin\theta}{g} = \frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin\theta\cos\theta=\sin 2\theta, obtemos a forma clássica:
R=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.
Para \theta=30^\circ, 2\theta=60^\circ e \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254. Assim
R=\frac{90{,}000\cdot 0{,}8660254}{10}=\frac{77{,}942{,}286}{10}\approx 7{,}794{,}23\\ \mathrm{m}.
(Arredondei para duas casas decimais.) Portanto o alcance é aproximadamente \displaystyle 7{,}794{,}23\\ \mathrm{m}.

Resposta

\displaystyle T=30\\ \mathrm{s}
\displaystyle H=1{,}125\\ \mathrm{m}
\displaystyle R\approx 7{,}794{,}23\\ \mathrm{m}

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