10)Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de 45^{\circ} \mathrm{com} a horizontal e ,após um intervalo de tempo t ,o dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento.Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta,o intervalo de tempo t ,em segundos,é um valor mais próximo de:Dados: \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e \operatorname{sen} 45^{\circ}=\cos 45^{\circ}=0,7
a) 3,2
b) 1,8
c) 1,2
d) 0,8

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o intervalo de tempo t (em segundos) que o dardo permanece no ar, sabendo que:
  • o ângulo de lançamento é \,45^\circ;\n
  • a distância horizontal (alcance) do ponto de lançamento até o ponto de queda é \,16\\ \mathrm{m};\n
  • desprezamos a resistência do ar e a altura do atleta (ou seja, a altura inicial e final são iguais);\n
  • g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2;\n
  • \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=0,7.\n
    As alternativas são: \,3,2;\\\ 1,8;\\\ 1,2;\\\ 0,8. Neste passo só listei o que foi dado e o que é pedido — sem começar a resolver.

Passo 2

Vamos modelar o movimento do dardo como um movimento projetil com velocidade inicial v_0 lançada com ângulo \theta=45^\circ. Decompomos v_0 em componentes horizontal e vertical:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta.
Significado: v_{0x} é a velocidade inicial na direção horizontal (constante se não há resistência), e v_{0y} é a velocidade inicial na direção vertical (sofre aceleração -g).

Passo 3

Equação do movimento horizontal (sem aceleração horizontal):
x = v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
Como a distância horizontal total é 16\\ \mathrm{m}, temos:
16 = v_0\cos 45^\circ \; t.
Esta equação relaciona v_0 e t.

Passo 4

Equação do movimento vertical. A altura final é igual à inicial, então o deslocamento vertical total é zero. Usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
0 = v_{0y}\,t - \frac{1}{2} g t^2 = v_0\sin\theta\; t - \frac{1}{2} g t^2.
Fatorando t (solução trivial t=0 corresponde ao lançamento), a outra solução é
t = \frac{2 v_0 \sin\theta}{g}.
Essa é a fórmula geral do tempo de voo de um projétil lançado e retornando à mesma altitude.

Passo 5

Podemos agora usar a expressão de t da vertical na equação horizontal para eliminar v_0, ou obter a fórmula do alcance R. Multiplicando v_0\cos\theta pela expressão de t:
R = v_0\cos\theta \cdot \frac{2 v_0 \sin\theta}{g} = \frac{v_0^2\cdot 2\sin\theta\cos\theta}{g}.
Lembrando a identidade \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos a famosa fórmula do alcance:
R = \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.

Passo 6

No nosso caso \theta=45^\circ, então \sin 2\theta=\sin 90^\circ=1. Substituindo em R:
R = \frac{v_0^2}{g}.
Logo podemos resolver v_0 a partir do alcance conhecido R=16:
v_0^2 = R g = 16\cdot 10 = 160,
v_0 = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}.
Aqui usei a fatoração \sqrt{160}=\sqrt{16\cdot 10}=4\sqrt{10}.

Passo 7

Agora usamos a fórmula do tempo de voo encontrada no Passo 4:
t = \frac{2 v_0 \sin 45^\circ}{g}.
Substituindo v_0=4\sqrt{10}, \sin45^\circ=0,7 e g=10:
t = \frac{2\cdot 4\sqrt{10}\cdot 0,7}{10}.

Passo 8

Vamos calcular passo a passo numericamente (sem usar calculadora complicada): primeiro multiplico constantes:
2\cdot 4\cdot 0,7 = 8\cdot 0,7 = 5,6.
Logo
t = \frac{5,6\sqrt{10}}{10} = 0,56\sqrt{10}.
Aproximando \sqrt{10}\approx 3,162, obtemos
t \approx 0,56\cdot 3,162 \approx 1,7707\\ \mathrm{s}.
Arredondando para o número mais próximo das alternativas, isso é \,1,8\\ \mathrm{s}.

Passo 9

Interpretação e ligação com as alternativas: o resultado calculado \approx 1,77\\ \mathrm{s} corresponde à alternativa \,1,8. Força aí — é exatamente a alternativa (b).

Resposta

(b) 1,8

Exercícios relacionados