10)Um atleta arremessa um dardo sob um ângulo de
a horizontal e ,após um intervalo de tempo t ,o dardo bate no solo 16 m à frente do ponto de lançamento.Desprezando a resistência do ar e a altura do atleta,o intervalo de tempo t ,em segundos,é um valor mais próximo de:Dados:
e
a) 3,2
b) 1,8
c) 1,2
d) 0,8
a) 3,2
b) 1,8
c) 1,2
d) 0,8
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre o intervalo de tempo
(em segundos) que o dardo permanece no ar, sabendo que:
- o ângulo de lançamento é
;\n - a distância horizontal (alcance) do ponto de lançamento até o ponto de queda é
;\n - desprezamos a resistência do ar e a altura do atleta (ou seja, a altura inicial e final são iguais);\n
-
;\n -
.\n
As alternativas são:. Neste passo só listei o que foi dado e o que é pedido — sem começar a resolver.
Passo 2
Vamos modelar o movimento do dardo como um movimento projetil com velocidade inicial
lançada com ângulo
. Decompomos
em componentes horizontal e vertical:
Significado:
é a velocidade inicial na direção horizontal (constante se não há resistência), e
é a velocidade inicial na direção vertical (sofre aceleração
).
Passo 3
Equação do movimento horizontal (sem aceleração horizontal):
Como a distância horizontal total é
, temos:
Esta equação relaciona
e
.
Passo 4
Equação do movimento vertical. A altura final é igual à inicial, então o deslocamento vertical total é zero. Usando a equação do movimento uniformemente acelerado:
Fatorando
(solução trivial
corresponde ao lançamento), a outra solução é
Essa é a fórmula geral do tempo de voo de um projétil lançado e retornando à mesma altitude.
Passo 5
Podemos agora usar a expressão de
da vertical na equação horizontal para eliminar
, ou obter a fórmula do alcance
. Multiplicando
pela expressão de
:
Lembrando a identidade
, obtemos a famosa fórmula do alcance:
Passo 6
No nosso caso
, então
. Substituindo em
:
Logo podemos resolver
a partir do alcance conhecido
:
Aqui usei a fatoração
.
Passo 7
Agora usamos a fórmula do tempo de voo encontrada no Passo 4:
Substituindo
,
e
:
Passo 8
Vamos calcular passo a passo numericamente (sem usar calculadora complicada): primeiro multiplico constantes:
Logo
Aproximando
, obtemos
Arredondando para o número mais próximo das alternativas, isso é
.
Passo 9
Interpretação e ligação com as alternativas: o resultado calculado
corresponde à alternativa
. Força aí — é exatamente a alternativa (b).
Resposta
(b)