26.15 Two very large tanks, maintained at 323 K and 1 atm total system pressure, are connected by a 0.1-\mathrm{m}-diameter circular duct which is 5 m in length. Tank 1 contains a uniform gas of 60 \mathrm{~mol} \% acetone and 40 \mathrm{~mol} \% air, whereas tank 2 contains a uniform gas of 10 \mathrm{~mol} \% acetone and 90 \mathrm{~mol} \% air. Determine the initial rate of acetone transfer between the two tanks. The gas diffusivity of acetone in air at 298 K and 1 atm is 0.093 \mathrm{~cm}^{2} / \mathrm{s}.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
  • Pedido: determinar a taxa inicial de transferência de acetona entre os dois tanques (isto é, quantos mols de acetona por segundo atravessam o duto no instante inicial).
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura do sistema: \;323\\ \mathrm{K}.
    • Pressão total: \;1\\ \mathrm{atm} (assumimos 1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}).
    • Duto: diâmetro \;0,1\\ \mathrm{m} e comprimento \;5\\ \mathrm{m}.
    • Composição do tanque 1: \;60\\ \% mol acetona, \;40\\ \% mol ar \Rightarrow\;x_{A,1}=0,60.
    • Composição do tanque 2: \;10\\ \% mol acetona, \;90\\ \% mol ar \Rightarrow\;x_{A,2}=0,10.
    • Difusividade dada para acetona em ar: \;D_{298}=0,093\\ \mathrm{cm^{2}/s} a \;298\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm}.
  • Observações iniciais (importantes para a modelagem):
    • Os tanques são “muito grandes”, então suas concentrações se mantêm praticamente constantes no instante inicial.
    • Portanto, no instante inicial temos um gradiente de fração molar muito bem aproximado por uma variação linear de \;x_A ao longo do comprimento do duto.
    • Assumimos que não há escoamento convectivo macroscópico imposto (ou seja, difusão molecular domina inicialmente). Assim usamos a lei de Fick para fluxo molar.

Passo 2

Qual equação vamos usar e explicação didática dela.
  • Lei de Fick para mistura gasosa (forma para fluxo molar de A em um meio estacionário):
J_A = - C\,D_{AB}\,\frac{dx_A}{dx}
onde:
  • J_A é o fluxo molar de A por unidade de área \;(\mathrm{mol\\ m^{-2}\\ s^{-1}}).
  • C é a concentração molar total do gás \;(\mathrm{mol\\ m^{-3}}).
  • D_{AB} é o coeficiente de difusão binário de A em B \;(\mathrm{m^{2}\\ s^{-1}}).
  • \dfrac{dx_A}{dx} é o gradiente espacial da fração molar de A \;(\mathrm{m^{-1}}).
Explicação simples: a lei de Fick diz que a quantidade de A que atravessa uma seção por segundo é proporcional à “quantidade de moléculas por volume” ( C), à facilidade de caminhar através do misturador ( D_{AB}) e à inclinação da fração molar. O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de diminuir a concentração (mas vamos tratar a direção explicitamente depois).
Para obter a taxa total (mols por segundo) que atravessa o duto:
\dot n_A = J_A \cdot A
onde A é a área da seção transversal do duto.

Passo 3

Cálculo da concentração molar total C usando a equação dos gases ideais.
  • Fórmula:
C=\frac{P}{RT}
onde:
  • P é a pressão total \;(\mathrm{Pa}),
  • R é a constante universal dos gases \;R=8,314\\ \mathrm{J\\ mol^{-1}\\ K^{-1}},
  • T é a temperatura absoluta \;(\mathrm{K}).
  • Substituindo os valores:
C=\frac{101325}{8,314\cdot 323}
  • Calculemos:
8,314\cdot 323 = 2685,422
C=\frac{101325}{2685,422}\approx 37,73\\ \mathrm{mol\\ m^{-3}}
Explicação rápida: C nos diz quantos mols de mistura existem por metro cúbico nas condições dadas; é obrigatório para converter um gradiente de fração molar em gradiente de concentração absoluta.

Passo 4

Ajuste do coeficiente de difusão para a temperatura do problema.
  • O valor dado é \;D_{298}=0,093\\ \mathrm{cm^{2}/s} a \;298\\ \mathrm{K}. Primeiro converter para \mathrm{m^{2}/s}:
D_{298}=0,093\\ \mathrm{cm^{2}/s}=0,093\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}=9{,}3\times 10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s}
  • Dependência aproximada com temperatura para difusão molecular em gases (modelo simples usado em provas):
D\propto \frac{T^{3/2}}{P}
Como P é constante, ajustamos apenas pela razão de temperatura:
D_{323}=D_{298}\left(\frac{323}{298}\right)^{3/2}
  • Cálculo numérico:
\frac{323}{298}=1{,}08456\quad\Rightarrow\quad\left(1{,}08456\right)^{3/2}\approx 1{,}1298
D_{323}=9{,}3\times 10^{-6}\cdot 1{,}1298 \approx 1{,}05\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}
Breve nota didática: esse ajuste é uma aproximação muito usada em engenharia química/transportes; se você tivesse tabelas ou a correção exata (Fuller ou Chapman-Enskog) poderia refinar, mas para o enunciado e nível de prova, essa aproximação é adequada.

Passo 5

Determinação do gradiente de fração molar \dfrac{dx_A}{dx}.
  • Como os tanques são muito grandes, no instante inicial temos x_A praticamente constante em cada extremidade do duto. A variação ao longo do duto pode ser aproximada por uma rampa linear entre \;x_{A,1}=0{,}60 e \;x_{A,2}=0{,}10 em comprimento L=5\\ \mathrm{m}. Assim:
\frac{dx_A}{dx}=\frac{x_{A,2}-x_{A,1}}{L}=\frac{0{,}10-0{,}60}{5}=\frac{-0{,}50}{5}=-0{,}10\\ \mathrm{m^{-1}}
Interpretação: a fração molar de acetona decresce ao longo do duto no sentido do tanque 1 para o 2; o gradiente é negativo.

Passo 6

Cálculo do fluxo molar por unidade de área J_A.
  • Usando a lei de Fick:
J_A = - C\,D_{AB}\,\frac{dx_A}{dx}
Substituindo os valores calculados:
J_A = - \left(37{,}73\right)\left(1{,}05\times 10^{-5}\right)\left(-0{,}10\right)
  • Note os sinais: o duplo negativo dá fluxo positivo no sentido de 1\to 2. Calcule:
J_A \approx 37{,}73\times 1{,}05\times 10^{-6}\approx 3{,}96\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol\\ m^{-2}\\ s^{-1}}
Explicação: este é o número de mols de acetona que cruzam cada metro quadrado da seção por segundo.

Passo 7

Cálculo da taxa total \dot n_A atravessando o duto.
  • Área da seção transversal do duto:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}=\frac{\pi (0{,}1)^{2}}{4}=\pi\cdot 0{,}0025\approx 7{,}85398\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^{2}}
  • Taxa molar:
\dot n_A = J_A \cdot A \approx 3{,}96\times 10^{-5}\cdot 7{,}85398\times 10^{-3}
\dot n_A \approx 3{,}11\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}}
  • Direção: positiva no cálculo acima significa que a acetona vai do tanque 1 (alto teor) para o tanque 2 (baixo teor).
Breve verificação de ordem de grandeza: é um fluxo pequeno — esperado, difusão molecular através de um tubo relativamente longo e de área pequena é lenta. Se fosse necessário um fluxo maior, ocorreria convecção forçada ou natural.

Resposta

\dot n_{A}=3{,}11\times 10^{-7}\\ \mathrm{mol\\ s^{-1}} (do tanque 1 para o tanque 2)
\dot m_{A}\approx 1{,}81\times 10^{-5}\\ \mathrm{g\\ s^{-1}} (equivalente, usando massa molar da acetona 58{,}08\\ \mathrm{g\\ mol^{-1}})

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