26.15 Two very large tanks, maintained at 323 K and 1 atm total system pressure, are connected by a
-diameter circular duct which is 5 m in length. Tank 1 contains a uniform gas of
acetone and
air, whereas tank 2 contains a uniform gas of
acetone and
air. Determine the initial rate of acetone transfer between the two tanks. The gas diffusivity of acetone in air at 298 K and 1 atm is
.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
- Pedido: determinar a taxa inicial de transferência de acetona entre os dois tanques (isto é, quantos mols de acetona por segundo atravessam o duto no instante inicial).
- Dados fornecidos:
- Temperatura do sistema:
. - Pressão total:
(assumimos ). - Duto: diâmetro
e comprimento . - Composição do tanque 1:
mol acetona, mol ar . - Composição do tanque 2:
mol acetona, mol ar . - Difusividade dada para acetona em ar:
a e .
- Temperatura do sistema:
- Observações iniciais (importantes para a modelagem):
- Os tanques são “muito grandes”, então suas concentrações se mantêm praticamente constantes no instante inicial.
- Portanto, no instante inicial temos um gradiente de fração molar muito bem aproximado por uma variação linear de
ao longo do comprimento do duto. - Assumimos que não há escoamento convectivo macroscópico imposto (ou seja, difusão molecular domina inicialmente). Assim usamos a lei de Fick para fluxo molar.
Passo 2
Qual equação vamos usar e explicação didática dela.
- Lei de Fick para mistura gasosa (forma para fluxo molar de A em um meio estacionário):
onde:
-
é o fluxo molar de por unidade de área . -
é a concentração molar total do gás . -
é o coeficiente de difusão binário de em . -
é o gradiente espacial da fração molar de .
Explicação simples: a lei de Fick diz que a quantidade de A que atravessa uma seção por segundo é proporcional à “quantidade de moléculas por volume” (
), à facilidade de caminhar através do misturador (
) e à inclinação da fração molar. O sinal negativo indica que o fluxo vai no sentido de diminuir a concentração (mas vamos tratar a direção explicitamente depois).
Para obter a taxa total (mols por segundo) que atravessa o duto:
onde
é a área da seção transversal do duto.
Passo 3
Cálculo da concentração molar total
usando a equação dos gases ideais.
- Fórmula:
onde:
-
é a pressão total , -
é a constante universal dos gases , -
é a temperatura absoluta . -
Substituindo os valores:
- Calculemos:
Explicação rápida:
nos diz quantos mols de mistura existem por metro cúbico nas condições dadas; é obrigatório para converter um gradiente de fração molar em gradiente de concentração absoluta.
Passo 4
Ajuste do coeficiente de difusão para a temperatura do problema.
- O valor dado é
a . Primeiro converter para :
- Dependência aproximada com temperatura para difusão molecular em gases (modelo simples usado em provas):
Como
é constante, ajustamos apenas pela razão de temperatura:
- Cálculo numérico:
Breve nota didática: esse ajuste é uma aproximação muito usada em engenharia química/transportes; se você tivesse tabelas ou a correção exata (Fuller ou Chapman-Enskog) poderia refinar, mas para o enunciado e nível de prova, essa aproximação é adequada.
Passo 5
Determinação do gradiente de fração molar
.
- Como os tanques são muito grandes, no instante inicial temos
praticamente constante em cada extremidade do duto. A variação ao longo do duto pode ser aproximada por uma rampa linear entre e em comprimento . Assim:
Interpretação: a fração molar de acetona decresce ao longo do duto no sentido do tanque 1 para o 2; o gradiente é negativo.
Passo 6
Cálculo do fluxo molar por unidade de área
.
- Usando a lei de Fick:
Substituindo os valores calculados:
- Note os sinais: o duplo negativo dá fluxo positivo no sentido de
. Calcule:
Explicação: este é o número de mols de acetona que cruzam cada metro quadrado da seção por segundo.
Passo 7
Cálculo da taxa total
atravessando o duto.
- Área da seção transversal do duto:
- Taxa molar:
- Direção: positiva no cálculo acima significa que a acetona vai do tanque 1 (alto teor) para o tanque 2 (baixo teor).
Breve verificação de ordem de grandeza: é um fluxo pequeno — esperado, difusão molecular através de um tubo relativamente longo e de área pequena é lenta. Se fosse necessário um fluxo maior, ocorreria convecção forçada ou natural.