26.3 A tank with its top open to the atmosphere contains liquid methanol ( MeOH , molecular weight
) at the bottom of the tank. The tank is maintained at
. The diameter of the cylindrical tank is 1.0 m , the total height of the tank is 3.0 m , and the liquid level at the bottom of the tank is maintained at 0.5 m . The gas space inside the tank is stagnant and the MeOH vapors are immediately dispersed once they exit the tank. At
, the vapor pressure exerted by liquid MeOH is 163 mmHg and at
the MeOH vapor pressure is 265 mmHg . We are concerned
that this open tank may be emitting a considerable amount of MeOH vapor.
a. What is the emission rate of MeOH vapor from the tank in units of
day when the tank is at a temperature of
? State all assumptions and boundary conditions.
b. If the temperature of the tank is raised to
, what is the new methanol emission rate?
that this open tank may be emitting a considerable amount of MeOH vapor.
a. What is the emission rate of MeOH vapor from the tank in units of
b. If the temperature of the tank is raised to
Passo 1
Vou escrever claramente o que o problema pede e todas as informações numéricas que ele dá.
-
Pedido:
- (a) Calcular a taxa de emissão de vapor de metanol em unidades de
quando o tanque está a . - (b) Calcular a nova taxa de emissão quando a temperatura sobe para
.
- (a) Calcular a taxa de emissão de vapor de metanol em unidades de
-
Dados do enunciado:
- MeOH: massa molar
. - Diâmetro do tanque
. - Altura total do tanque
. - Nível de líquido (profundidade do líquido)
(mantido constante). - Espaço de gás acima do líquido
. - Pressão de vapor do MeOH a
: . - Pressão de vapor do MeOH a
: . - O gás no interior do espaço livre é estagnado (sem convecção) e os vapores que saem do topo são imediatamente dispersos (concentração praticamente zero fora do tanque).
- Constante dos gases
. - Temperaturas absolutas:
, . - Conversão:
.
- MeOH: massa molar
Passo 2
Assunções e condições de contorno (importantíssimo — explicito tudo):
- Estado estacionário: a taxa de evaporação é igual à taxa de transporte por difusão através do espaço livre — ou seja, fluxo estacionário de massa por difusão.
- Transporte no espaço de gás é por difusão molecular unidimensional (vertical) devido ao ar estagnado; negligenciamos convecção forçada ou natural.
- Concentração de vapor de MeOH na superfície do líquido é a de saturação correspondente à pressão de vapor dada (equilíbrio gás-líquido local): concentração no fundo do espaço livre
. - Concentração de vapor no topo do tanque (aberto para atmosfera) é desprezível:
. - Gás ideal para converter pressão parcial em concentração:
. - Coeficiente de difusão binário
(MeOH em ar) não fornecido no enunciado — vou assumir um valor típico e justificar. Usarei (valor típico para pequenos vapores orgânicos em ar a ~300 K). Ajustarei para C usando a dependência aproximada (pressionamento constante).
Passo 3
Escolha do método:
- Como o gás é estagnado e o vapor é imediatamente disperso ao sair, o problema clássico é difusão molecular unidimensional no espaço livre do tanque do líquido até a boca aberta. O método apropriado é a lei de Fick para fluxo estacionário:
Com contornos
(superfície do líquido) e
(topo aberto), a solução simples em estado estacionário para um gradiente linear é
onde
é o fluxo molar de MeOH por unidade de área (
).
Passo 4
Conversão da pressão de vapor em concentração molar (usando gás ideal):
- Primeiro converto
de para :
- A concentração molar (mol por m^3) correspondente é
Vou aplicar isso para
e
.
Passo 5
Cálculos passo a passo — geometria e constantes:
- Área da seção transversal do tanque:
- Altura do espaço de gás
.
Passo 6
Converter pressões para
e calcular
.
- Para
:
- Para
:
(Expliquei: aqui converti mmHg→Pa e usei
.)
Passo 7
Escolha e cálculo do coeficiente de difusão
:
- Assumi
(valor típico razoável para MeOH em ar a ≈300 K). Se você tiver tabelas do curso, use esse valor; caso contrário este é um palpite tecnicamente justificado. - Ajusto para
usando (aproximação da teoria cinética ou Chapman–Enskog para gases diluídos):
Calculo numérico:
logo
Passo 8
Calcular o fluxo molar por área
em cada temperatura usando Fick:
- Em
:
- Em
:
(Expliquei: multiplico
por
e divido por
.)
Passo 9
Converter fluxo por área em taxa molar total e depois em massa por dia.
- Taxa molar (mol/s) atravessando a boca do tanque:
- Em
:
- Em
:
- Converter para massa (kg/s):
com .
- Converter para
multiplicando por :
(Fiz as etapas: fluxo por área → mol/s → kg/s → kg/day.)
Passo 10
Comentário final curto (empático e útil):
- Resultado prático: as emissões são pequenas, da ordem de décimos de quilograma por dia sob as suposições feitas (especialmente suposição sobre
e ausência de convecção). Se houvesse correntes de ar sobre a boca ou ventilação, a taxa poderia ser bem maior (convecção aumenta transporte). Se quiser, posso reavaliar usando outro valor de ou incluindo convecção/coeficiente de transferência convectivo.