26.3 A tank with its top open to the atmosphere contains liquid methanol ( MeOH , molecular weight 32 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} ) at the bottom of the tank. The tank is maintained at 30^{\circ} \mathrm{C}. The diameter of the cylindrical tank is 1.0 m , the total height of the tank is 3.0 m , and the liquid level at the bottom of the tank is maintained at 0.5 m . The gas space inside the tank is stagnant and the MeOH vapors are immediately dispersed once they exit the tank. At 30^{\circ} \mathrm{C}, the vapor pressure exerted by liquid MeOH is 163 mmHg and at 40^{\circ} \mathrm{C} the MeOH vapor pressure is 265 mmHg . We are concerned
that this open tank may be emitting a considerable amount of MeOH vapor.
a. What is the emission rate of MeOH vapor from the tank in units of \mathrm{kg} \mathrm{MeOH} / day when the tank is at a temperature of 30^{\circ} \mathrm{C} ? State all assumptions and boundary conditions.
b. If the temperature of the tank is raised to 40^{\circ} \mathrm{C}, what is the new methanol emission rate?

Passo 1

Vou escrever claramente o que o problema pede e todas as informações numéricas que ele dá.
  • Pedido:
    • (a) Calcular a taxa de emissão de vapor de metanol em unidades de \mathrm{kg\\ MeOH/day} quando o tanque está a 30^\circ\mathrm{C}.
    • (b) Calcular a nova taxa de emissão quando a temperatura sobe para 40^\circ\mathrm{C}.
  • Dados do enunciado:
    • MeOH: massa molar M = 32\\ \mathrm{g/mol} = 0,032\\ \mathrm{kg/mol}.
    • Diâmetro do tanque d = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Altura total do tanque H = 3{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Nível de líquido (profundidade do líquido) h_\ell = 0{,}5\\ \mathrm{m} (mantido constante).
    • Espaço de gás acima do líquido L = H - h_\ell = 3{,}0 - 0{,}5 = 2{,}5\\ \mathrm{m}.
    • Pressão de vapor do MeOH a 30^\circ\mathrm{C}: p_{v,30} = 163\\ \mathrm{mmHg}.
    • Pressão de vapor do MeOH a 40^\circ\mathrm{C}: p_{v,40} = 265\\ \mathrm{mmHg}.
    • O gás no interior do espaço livre é estagnado (sem convecção) e os vapores que saem do topo são imediatamente dispersos (concentração praticamente zero fora do tanque).
    • Constante dos gases R = 8{,}3145\\ \mathrm{Pa\cdot m^3/(mol\cdot K)}.
    • Temperaturas absolutas: T_{30} = 303{,}15\\ \mathrm{K}, T_{40} = 313{,}15\\ \mathrm{K}.
    • Conversão: 1\\ \mathrm{mmHg} = 133{,}322\\ \mathrm{Pa}.

Passo 2

Assunções e condições de contorno (importantíssimo — explicito tudo):
  • Estado estacionário: a taxa de evaporação é igual à taxa de transporte por difusão através do espaço livre — ou seja, fluxo estacionário de massa por difusão.
  • Transporte no espaço de gás é por difusão molecular unidimensional (vertical) devido ao ar estagnado; negligenciamos convecção forçada ou natural.
  • Concentração de vapor de MeOH na superfície do líquido é a de saturação correspondente à pressão de vapor dada (equilíbrio gás-líquido local): concentração no fundo do espaço livre C_{A,0} = C_\text{sat}.
  • Concentração de vapor no topo do tanque (aberto para atmosfera) é desprezível: C_{A,L} \approx 0.
  • Gás ideal para converter pressão parcial em concentração: C = p/(R T).
  • Coeficiente de difusão binário D_{AB} (MeOH em ar) não fornecido no enunciado — vou assumir um valor típico e justificar. Usarei D_{AB,30} = 1{,}20\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} (valor típico para pequenos vapores orgânicos em ar a ~300 K). Ajustarei para 40^\circC usando a dependência aproximada D\propto T^{3/2} (pressionamento constante).

Passo 3

Escolha do método:
  • Como o gás é estagnado e o vapor é imediatamente disperso ao sair, o problema clássico é difusão molecular unidimensional no espaço livre do tanque do líquido até a boca aberta. O método apropriado é a lei de Fick para fluxo estacionário:
N_A = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dz}.
Com contornos C_A(0)=C_\text{sat} (superfície do líquido) e C_A(L)=0 (topo aberto), a solução simples em estado estacionário para um gradiente linear é
N_A = D_{AB}\,\frac{C_\text{sat}-0}{L} = D_{AB}\,\frac{C_\text{sat}}{L},
onde N_A é o fluxo molar de MeOH por unidade de área ( \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}).

Passo 4

Conversão da pressão de vapor em concentração molar (usando gás ideal):
  • Primeiro converto p_{v} de \mathrm{mmHg} para \mathrm{Pa}:
p\;(\mathrm{Pa}) = p\;(\mathrm{mmHg}) \times 133{,}322.
  • A concentração molar (mol por m^3) correspondente é
C_\text{sat} = \frac{p_{v}}{R\,T}.
Vou aplicar isso para 30^\circ\mathrm{C} e 40^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Cálculos passo a passo — geometria e constantes:
  • Área da seção transversal do tanque:
A = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi (1{,}0)^2}{4} = \frac{\pi}{4}\\ \mathrm{m^2} \approx 0{,}785398\\ \mathrm{m^2}.
  • Altura do espaço de gás L = 2{,}5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Converter pressões para \mathrm{Pa} e calcular C_\text{sat}.
  • Para 30^\circ\mathrm{C}:
p_{v,30} = 163\\ \mathrm{mmHg} \times 133{,}322\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmHg}} = 21728{,}99\\ \mathrm{Pa}.
C_{\text{sat},30} = \frac{21728{,}99}{8{,}3145\times 303{,}15} \\ \mathrm{mol/m^3} \approx 8{,}62\\ \mathrm{mol/m^3}.
  • Para 40^\circ\mathrm{C}:
p_{v,40} = 265\\ \mathrm{mmHg} \times 133{,}322\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{mmHg}} = 35332{,}13\\ \mathrm{Pa}.
C_{\text{sat},40} = \frac{35332{,}13}{8{,}3145\times 313{,}15} \\ \mathrm{mol/m^3} \approx 13{,}56\\ \mathrm{mol/m^3}.
(Expliquei: aqui converti mmHg→Pa e usei C=p/(R T).)

Passo 7

Escolha e cálculo do coeficiente de difusão D_{AB}:
  • Assumi D_{AB,30} = 1{,}20\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} (valor típico razoável para MeOH em ar a ≈300 K). Se você tiver tabelas do curso, use esse valor; caso contrário este é um palpite tecnicamente justificado.
  • Ajusto para 40^\circ\mathrm{C} usando D\propto T^{3/2} (aproximação da teoria cinética ou Chapman–Enskog para gases diluídos):
D_{AB,40} = D_{AB,30}\left(\frac{T_{40}}{T_{30}}\right)^{3/2}.
Calculo numérico:
\left(\frac{T_{40}}{T_{30}}\right)^{3/2} = \left(\frac{313{,}15}{303{,}15}\right)^{3/2} \approx 1{,}05,
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D_{AB,40} \approx 1{,}20\times 10^{-5}\times 1{,}05 \approx 1{,}26\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}.

Passo 8

Calcular o fluxo molar por área N_A em cada temperatura usando Fick:
N_A = D_{AB}\,\frac{C_\text{sat}}{L}.
  • Em 30^\circ\mathrm{C}:
N_{A,30} = \frac{1{,}20\times 10^{-5}\times 8{,}62}{2{,}5} = 4{,}14\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
  • Em 40^\circ\mathrm{C}:
N_{A,40} = \frac{1{,}26\times 10^{-5}\times 13{,}56}{2{,}5} = 6{,}84\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}.
(Expliquei: multiplico D por C_\text{sat} e divido por L.)

Passo 9

Converter fluxo por área em taxa molar total e depois em massa por dia.
  • Taxa molar (mol/s) atravessando a boca do tanque:
\dot{n}_A = N_A \times A.
  • Em 30^\circ\mathrm{C}:
\dot{n}_{30} = 4{,}14\times 10^{-5}\times 0{,}785398 \approx 3{,}25\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.
  • Em 40^\circ\mathrm{C}:
\dot{n}_{40} = 6{,}84\times 10^{-5}\times 0{,}785398 \approx 5{,}37\times 10^{-5}\\ \mathrm{mol/s}.
  • Converter para massa (kg/s): \dot{m} = \dot{n}\times M com M=0{,}032\\ \mathrm{kg/mol}.
\dot{m}_{30} = 3{,}25\times 10^{-5}\times 0{,}032 \approx 1{,}04\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg/s}.
\dot{m}_{40} = 5{,}37\times 10^{-5}\times 0{,}032 \approx 1{,}72\times 10^{-6}\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converter para \mathrm{kg/day} multiplicando por 86400\\ \mathrm{s/day}:
\dot{m}_{30,\text{day}} = 1{,}04\times 10^{-6}\times 86400 \approx 0{,}090\\ \mathrm{kg/day}.
\dot{m}_{40,\text{day}} = 1{,}72\times 10^{-6}\times 86400 \approx 0{,}149\\ \mathrm{kg/day}.
(Fiz as etapas: fluxo por área → mol/s → kg/s → kg/day.)

Passo 10

Comentário final curto (empático e útil):
  • Resultado prático: as emissões são pequenas, da ordem de décimos de quilograma por dia sob as suposições feitas (especialmente suposição sobre D_{AB} e ausência de convecção). Se houvesse correntes de ar sobre a boca ou ventilação, a taxa poderia ser bem maior (convecção aumenta transporte). Se quiser, posso reavaliar usando outro valor de D_{AB} ou incluindo convecção/coeficiente de transferência convectivo.

Resposta

30^\circ\mathrm{C}:\\\ 0,090\\ \mathrm{kg\\ MeOH/day}
40^\circ\mathrm{C}:\\\ 0,149\\ \mathrm{kg\\ MeOH/day}

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