26.2 Helium gas is seperated from other components of a gas mixture by its selective diffusion through the wall of a Pyrex glass tube. Under steady-state conditions, the partial pressures of helium at the inner and outer surfaces of the Pyrex tube are 1.5 and 1.0 bar, respectively. If the wall thickness of the Pyrex tubing is 3 mm , determine
a. the flux of He through a tube having an inside diameter of 1.0 cm ;
b. the concentration profile, c_{\mathrm{A}}(r), of helium within the wall.

Passo 1

Dados do enunciado (vou listar tudo o que temos, bem explicadinho):
p_{A1}=1,5\\ \text{bar}\quad\text{(pressão parcial de He na superfície interna)}ãí
p_{A2}=1,0\\ \text{bar}\quad\text{(pressão parcial de He na superfície externa)}ãí
\text{espessura da parede: } l=3\\ \text{mm}=3{,}0\times10^{-3}\\ \text{m}
\text{diâmetro interno: } d_i=1{,}0\\ \text{cm}=1{,}0\times10^{-2}\\ \text{m}â
\text{raio interno: } r_1=\dfrac{d_i}{2}=0{,}005\\ \text{m}
\text{raio externo: } r_2=r_1+l=0{,}005+0{,}003=0{,}008\\ \text{m}
O que o enunciado pede:
a) o fluxo de He através do tubo (vou interpretar e clarificar isto nos próximos passos: calcularei a vazão molar por unidade de comprimento do tubo — isto é, mol/s por metro de tubo — e também mostrarei como obter o fluxo por unidade de área na parede, porque o termo “fluxo” às vezes é usado de ambos os jeitos);\n
b) o perfil de concentração \,c_A(r)\, de hélio dentro da parede, para r_1\le r\le r_2.
Observação importante (já adiantando um ponto prático): o enunciado não dá propriedades do material (não fornece o coeficiente de difusão do He na Pyrex nem uma constante de solubilidade/Henry ou a permeabilidade do material). Essas propriedades são necessárias para calcular um valor numérico do fluxo. Portanto eu vou:
  • derivar a expressão correta e prática para o fluxo e para c_A(r) em termos das propriedades que faltam (coeficiente de difusão D e/ou constante de solubilidade H ou permeabilidade P);
  • explicar como usar essas expressões para obter um valor numérico assim que você tiver D e/ou P.
    Não posso inventar um valor físico para D ou H; se você tiver esses dados eu já te mostro como colocar.

Passo 2

Conceitos e equações que vamos usar (aula rápida, explicada passo a passo):
  • Fick (lei da difusão). Para um transporte exclusivamente por difusão, a fluxividade molar (fluxo por área) radial é dada por Fick:
J_{A,r}=-D\,\dfrac{dc_A}{dr},
onde J_{A,r} é o fluxo molar radial (unidade: \mathrm{mol/(m^2\cdot s)}), D é o coeficiente de difusão do He na Pyrex (unidade: \mathrm{m^2/s}) e c_A(r) é a concentração molar do He no material (unidade: \mathrm{mol/m^3}). O sinal negativo indica que o fluxo ocorre no sentido da queda de concentração.
  • Geometria cilíndrica e estado estacionário. Em coordenadas cilíndricas, para escoamento radial estacionário e sem geração, a conservação de massa exige que o fluxo molar total por seção cilíndrica seja constante com r. O fluxo molar total (vazão molar) através de uma casca cilíndrica de comprimento L é:
\dot{N}_A = J_{A,r}(r)\times (2\pi r L).
Em regime estacionário \dot{N}_A é independente de r.
  • A equação diferencial que aparece é, combinando conservação e Fick,
\frac{d}{dr}\!\big(rJ_{A,r}\big)=0 \quad\Rightarrow\quad rJ_{A,r}=\text{const}.
Substituindo J_{A,r}=-D\,dc_A/dr obtemos uma equação que podemos integrar para c_A(r).

Passo 3

Resolver a equação diferencial para c_A(r):
A partir de rJ_{A,r}= const e J_{A,r}=-D\,dc_A/dr temos
- D\, r \dfrac{dc_A}{dr} = C_1,
onde C_1 é uma constante. Isolando e integrando:
\dfrac{dc_A}{dr} = -\dfrac{C_1}{D}\dfrac{1}{r}
\Rightarrow\quad c_A(r) = -\dfrac{C_1}{D}\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Aplicamos as condições de contorno na superfície interna e externa:
c_A(r_1)=c_{A1},\qquad c_A(r_2)=c_{A2},
onde c_{A1} e c_{A2} são as concentrações do He no material junto às superfícies internas e externas respectivamente. (Observação: essas concentrações estão relacionadas às pressões parciais do gás fora/fora da parede via lei de Henry: c_{Ai}=H\,p_{Ai} ou, mais geralmente, via uma constante de partição; explico depois.)
Resolvendo o sistema para C_1 e C_2 e eliminando as constantes obtemos a forma conveniente do perfil:
\boxed{\,c_A(r)=c_{A1}+\dfrac{c_{A2}-c_{A1}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\; \ln\!\big(\dfrac{r}{r_1}\big)\,}
Esta expressão diz que c_A(r) varia logaritmicamente entre c_{A1} e c_{A2}. Ela satisfaz c_A(r_1)=c_{A1} e c_A(r_2)=c_{A2}.

Passo 4

Expressão para a vazão molar (fluxo) através do tubo — derivação detalhada:
A vazão molar total (mol/s) através de um tubo de comprimento L é (usando J_{A,r}=-D\,dc_A/dr):
\dot{N}_A = 2\pi L \, \big(-D\,r\,\dfrac{dc_A}{dr}\big),
mas como a combinação -D\,r\,dc_A/dr é constante, podemos avaliar entre r_1 e r_2. Usando a solução de c_A(r) chega-se à forma conhecida:
\boxed{\,\dot{N}_A = -2\pi L D \dfrac{c_{A2}-c_{A1}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\,}
(o sinal negativo indica que, se c_{A2}<c_{A1}, \dot{N}_A é positivo no sentido de r crescente; normalmente reportamos o módulo ou uma forma positiva:
\dot{N}_A = 2\pi L D \dfrac{c_{A1}-c_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}.)
Se preferirmos expressar a vazão por unidade de comprimento (mol/s por metro de tubo), que é prático quando não foi dada L, definimos
\dot{N}_A'=\dfrac{\dot{N}_A}{L}=2\pi D \dfrac{c_{A1}-c_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\quad\big[\mathrm{mol/(s\cdot m)}\big].
Fluxo por unidade de área na superfície interna (densidade de fluxo) J_{A,r}(r_1) também é útil:
J_{A,r}(r_1)=\dfrac{\dot{N}_A'}{2\pi r_1} = \dfrac{D}{r_1}\dfrac{c_{A1}-c_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\quad\big[\mathrm{mol/(m^2\cdot s)}\big].

Passo 5

Ligando pressões aos c_A (pra poder escrever o fluxo em termos das pressões dadas):
Em muitos problemas de difusão através de sólido, a concentração de gás dissolvido no sólido junto à superfície é proporcional à pressão parcial do gás fora da superfície (lei de Henry), isto é:
c_{Ai}=H\,p_{Ai},
onde H é a constante de solubilidade (unidades típicas: \mathrm{mol/(m^3\cdot Pa)}). Se preferirmos agrupar D e H em uma única propriedade prática, definimos a permeabilidade do material
P\equiv D\;H \quad\big[\text{unidades úteis combinadas}\big].ú
Substituindo c_{A1}=H p_{A1} e c_{A2}=H p_{A2} na expressão para \dot{N}_A' obtemos:
\boxed{\,\dot{N}_A' = 2\pi (D H)\; \dfrac{p_{A1}-p_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)} =2\pi P\; \dfrac{p_{A1}-p_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\,.}
Esta é a expressão prática: o fluxo por unidade de comprimento depende só da permeabilidade P do material e das pressões nas superfícies, além da geometria (os raios). Se você tiver um valor de P (ou dos valores separados D e H), basta substituir para obter o valor numérico.

Passo 6

Aplicando os números geométricos (já calculados no Passo 1) para deixar as fórmulas prontas para cálculo:
r_1=0{,}005\\ \text{m},\qquad r_2=0{,}008\\ \text{m}\quad\Rightarrow\quad \ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)=\ln\!\big(\dfrac{0{,}008}{0{,}005}\big)=\ln(1{,}6).
Logo as fórmulas finais, prontas para inserir P ou D e H, são
\dot{N}_A' = 2\pi P \dfrac{p_{A1}-p_{A2}}{\ln(1{,}6)}
(em \mathrm{mol/(s\cdot m)}), e
c_A(r)=c_{A1}+\dfrac{c_{A2}-c_{A1}}{\ln(1{,}6)}\ln\!\big(\dfrac{r}{0{,}005}\big).
Se você preferir o fluxo por unidade de área na superfície interna:
J_{A,r}(r_1)=\dfrac{P}{r_1}\dfrac{p_{A1}-p_{A2}}{\ln(1{,}6)}.

Passo 7

  • Não há como dar um número final para o fluxo sem conhecer a permeabilidade P (ou D e H) do He na Pyrex; esses são dados experimentais e normalmente estão em tabelas de propriedades do material.
  • Se você me fornecer P (ou D e H e a temperatura), eu já calculo o valor numérico imediatamente — é só colar o número.
  • Respire: a parte conceitual e a dedução estão prontas; falta só a propriedade do material para o número final. Você está quase lá!

Resposta

a) \displaystyle \dot{N}_A' = 2\pi P\;\dfrac{p_{A1}-p_{A2}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)} \quad\text{com }r_1=0{,}005\\ \text{m},\\ r_2=0{,}008\\ \text{m} \n
b) \displaystyle c_A(r)=c_{A1}+\dfrac{c_{A2}-c_{A1}}{\ln\!\big(\dfrac{r_2}{r_1}\big)}\;\ln\!\big(\dfrac{r}{r_1}\big)

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