26^{\circ} ) A haste plástica tem diâmetro de 10 mm . Supondo que lhe seja aplicada uma carga axial de 80 kN , determinar as mudanças em seu comprimento e em seu diâmetro. Dados \mathrm{E}=131 \mathrm{GPa} e \boldsymbol{V}=0,34. Resposta: \boldsymbol{\delta}_{\mathbf{L}}=\mathbf{0 , 7 7 8} e \boldsymbol{\delta}_{\mathbf{d}}=-\mathbf{0 , 0 2 6 4 5 m m}.

Passo 1

O que o problema pede: determinar as mudanças no comprimento e no diâmetro da haste quando submetida à carga axial.
Dados fornecidos (retirei o comprimento da figura):
\;d=10\\ \text{mm}
\;L=100\\ \text{mm} (valor mostrado na figura)
\;P=80\\ \text{kN}
\;E=131\\ \text{GPa}
\;\nu=0,34
Perguntas explícitas:
  1. \delta_{L} — variação do comprimento.
  2. \delta_{d} — variação do diâmetro.

Passo 2

Unidades consistentes (vou trabalhar em SI: metros, pascal, newton). Converto os dados para SI:
P=80\\ \text{kN}=80\,000\\ \text{N}
d=10\\ \text{mm}=0,010\\ \text{m}
L=100\\ \text{mm}=0,100\\ \text{m}
E=131\\ \text{GPa}=131\times10^{9}\\ \text{Pa}

Passo 3

Calcular a área da seção transversal (seção circular). Fórmula da área de um círculo:
A=\frac{\pi d^{2}}{4}
Substituindo \;d=0,010\\ \text{m}:
A=\frac{\pi(0,010)^{2}}{4}=\pi\cdot 0,000025\\ =7{,}8539816\times10^{-5}\\ \text{m}^{2}
(Explanação rápida: d^{2} tem unidades \text{m}^{2}, a constante \pi/4 torna isso em área.)

Passo 4

Calcular a tensão axial média \sigma. Definição:
\sigma=\frac{P}{A}
Substituindo:
\sigma=\frac{80\,000}{7{,}8539816\times10^{-5}}=1{,}0185916\times10^{9}\\ \text{Pa}=1{,}0186\\ \text{GPa}
(Interpretação: essa é a tensão média na seção devido à carga axial.)

Passo 5

Calcular a deformação axial \epsilon usando a Lei de Hooke para regime elástico linear:
\epsilon=\frac{\sigma}{E}
onde \epsilon é adimensional (variação relativa de comprimento). Substituindo:
\epsilon=\frac{1{,}0185916\times10^{9}}{131\times10^{9}}=0{,}007776\\ (\text{adimensional})
(Explicação: Hooke diz que, enquanto o material permanece elástico linear, tensão e deformação são proporcionais com coeficiente E.)

Passo 6

Calcular a variação do comprimento \delta_{L}. Relação:
\delta_{L}=\epsilon\,L
Substituindo \epsilon=0{,}007776 e L=0{,}100\\ \text{m}:
\delta_{L}=0{,}007776\cdot 0{,}100=0{,}0007776\\ \text{m}
Convertendo para milímetros ( 1\\ \text{m}=1000\\ \text{mm}):
\delta_{L}=0{,}0007776\\ \text{m}=0{,}7776\\ \text{mm}\approx 0,778\\ \text{mm}
(Interpretação: o eixo se alonga cerca de 0{,}78\\ \text{mm}.)

Passo 7

Calcular a deformação transversal (lateral) usando a razão de Poisson \nu. Definição:
\epsilon_{\text{trans}}=-\nu\,\epsilon
o sinal negativo indica que se a barra alonga ( \epsilon>0), a dimensão transversal diminui. Substituindo:
\epsilon_{\text{trans}}=-0{,}34\cdot 0{,}007776=-0{,}00264384
(Essa é uma deformação adimensional negativa — contração.)

Passo 8

Calcular a variação do diâmetro \delta_{d}. Relação:
\delta_{d}=\epsilon_{\text{trans}}\;d
Usando d=10\\ \text{mm}. Note que posso multiplicar a deformação adimensional por d em mm para obter \delta_{d} em mm:
\delta_{d}=-0{,}00264384\cdot 10\\ \text{mm}=-0{,}0264384\\ \text{mm}\approx -0,02645\\ \text{mm}
(Interpretação: o diâmetro diminui em cerca de 0{,}026\\ \text{mm}.)

Passo 9

Checagem rápida de consistência: \delta_{L} está na ordem de submilímetro, razoável para uma haste curta e uma tensão de cerca de 1{,}02\\ \text{GPa}. A contração do diâmetro é muito menor que o alongamento linearmente proporcional via \nu, o que faz sentido físico.

Resposta

\delta_{L}=0,778\\ \text{mm}
\delta_{d}=-0,02645\\ \text{mm}

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