17^{\circ} ) A junta é feita de três chapas de aço ligadas pelas suas costuras. Determinar o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é submetida às cargas axiais mostradas. Cada chapa tem espessura de 6 mm , utilizar \mathrm{E}=200 GPa. Resposta: \boldsymbol{\delta}_{\mathrm{AD}}=\mathbf{0 , 4 4 5 m m}

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento da extremidade A em relação à extremidade D quando a junta é submetida às cargas axiais mostradas. Dados fornecidos (retirei estes valores da figura enviada):\n
  • Cargas: duas forças de 25\\ \text{kN} para a direita aplicadas em D (total 50\\ \text{kN} para a direita) e 50\\ \text{kN} para a esquerda em A (equilíbrio).\n
  • Comprimentos: AB=600\\ \text{mm}, BC=200\\ \text{mm}, CD=800\\ \text{mm} (estes comprimentos estão indicados na imagem).\n
  • Espessura de cada chapa: 6\\ \text{mm} (dado do enunciado).\n
  • Largura das chapas: 100\\ \text{mm} (peguei esse valor da indicação “100 mm” na figura).\n
  • Módulo de Young: E=200\\ \text{GPa} (dado).\n
    O que se pede: \delta_{AD}, o deslocamento da extremidade A em relação a D.

Passo 2

Estratégia e fórmula básica. Quando temos uma barra (ou um conjunto de barras em paralelo) submetida a uma força axial constante numa seção, a deformação da barra numa extensão de comprimento L é dada por
\delta=\frac{N\,L}{E\,A},
onde \;N\; é a força axial resultante na seção (sinalar conforme orientação escolhida), \;E\; é o módulo de Young e \;A\; é a área da seção transversal. Se o eixo total de A a D é dividido em segmentos com áreas diferentes, somamos as deformações de cada segmento (compatibilidade de deslocamentos):
\delta_{AD}=\sum \frac{N_i\,L_i}{E\,A_i}.
Importante: o valor de N_i numa seção é igual à soma das forças externas à direita (ou à esquerda) dessa seção — uso esta regra para obter o resultado axial em cada segmento.

Passo 3

Definição de quantas chapas estão presentes em cada segmento (usei a figura para identificar isto):\n
  • No segmento AB (600 mm) aparece apenas uma chapa (a chapa “longa” que vai desde A até D). Eu peguei essa informação na imagem (apenas uma chapa neste trecho). \n
  • No segmento BC (200 mm) também aparece apenas essa mesma chapa (na figura não há outra chapa que comece em B e se estenda por BC). Peguei isso da imagem.\n
  • No segmento CD (800 mm) aparecem três chapas sobrepostas (a chapa “longa” continua, e outras duas chapas começam em C e terminam em D). Isto também está visível na figura.\n
    Portanto, números de chapas por segmento: AB → 1 chapa; BC → 1 chapa; CD → 3 chapas.

Passo 4

Área de uma chapa e área total em cada segmento.\n
Área de uma chapa:
A_{\text{chapa}} = \text{espessura}\times\text{largura} = 6\\ \text{mm}\times100\\ \text{mm} = 600\\ \text{mm}^2.
Áreas dos segmentos:
A_{AB}=1\cdot600=600\\ \text{mm}^2, \qquad A_{BC}=1\cdot600=600\\ \text{mm}^2, \qquad A_{CD}=3\cdot600=1800\\ \text{mm}^2.

Passo 5

Força axial resultante em cada segmento. Escolho positivo para a direita. Para uma seção cualquiera entre A e D a soma das forças externas à direita consiste nas duas forças de 25\\ \text{kN} em D, totalizando 50\\ \text{kN} para a direita. Portanto o esforço normal em todas as seções entre A e D (no sentido que interessa ao cálculo das deformações) é
N = 25\\ \text{kN}+25\\ \text{kN}=50\\ \text{kN}=50\,000\\ \text{N}.
(Obs.: usei a regra “força resultante à direita da seção”.)

Passo 6

Cálculo das deformações em cada segmento usando \delta=\dfrac{N\,L}{E\,A}. Vou usar E=200\\ \text{GPa}=200\,000\\ \text{N}/\text{mm}^2.\n
Segmento AB:
\delta_{AB}=\frac{50\,000\cdot 600}{200\,000\cdot 600} = \frac{50\,000}{200\,000} =0{,}25\\ \text{mm}.
Segmento BC:
\delta_{BC}=\frac{50\,000\cdot 200}{200\,000\cdot 600} = \frac{10\,000\,000}{120\,000\,000} =0{,}083\bar{3}\\ \text{mm} = 0{,}083333\ldots\\ \text{mm}.
(atenção: aqui A_{BC}=600\\ \text{mm}^2 porque só há uma chapa em BC).\n
Segmento CD:
\delta_{CD}=\frac{50\,000\cdot 800}{200\,000\cdot 1800} = \frac{40\,000\,000}{360\,000\,000} =0{,}111\bar{1}\\ \text{mm} = 0{,}111111\ldots\\ \text{mm}.

Passo 7

Somando as contribuições para obter o deslocamento total de A em relação a D. Tomando a soma das deformações (orientação já considerada),
\delta_{AD}=\delta_{AB}+\delta_{BC}+\delta_{CD} =0{,}25+0{,}083\bar{3}+0{,}111\bar{1} =0{,}444\bar{4}\\ \text{mm}.
Arredondando apropriadamente (3 casas decimais) obtemos 0{,}445\\ \text{mm}.

Resposta

\delta_{AD}=0{,}445\\ \text{mm}

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