36^{\circ} ) A haste que tem diâmetro de \mathbf{5 ~ m m} é presa em “A” e antes de ser carregada mantém uma folga de 1 mm em relação a “B’”. Verifique as reações em A e B`quando for aplicada uma carga N, para: \mathrm{E}=200 \mathrm{GPa}.
\mathrm{N}=2 \mathrm{kN}

Passo 1

O enunciado dá uma haste de diâmetro 5~\mathrm{mm} presa em A e com uma folga de 1~\mathrm{mm} em relação ao apoio vertical B' (ou seja, antes de carregar a haste ela não toca B'). A carga axial aplicada tem valor N=2~\mathrm{kN} e fica direcionada para a direita conforme a figura. A distância total entre A e a face de B' é 400~\mathrm{mm}+800~\mathrm{mm}=1200~\mathrm{mm}. O módulo de elasticidade é E=200~\mathrm{GPa}.\n\nO que se pede: verificar as reações em A e em B' quando a carga N=2~\mathrm{kN} é aplicada.\n\nDados listados (todos explicitados):\n- diâmetro d=\;5~\mathrm{mm}\n- folga \delta_{gap}=\;1~\mathrm{mm}\n- distâncias 400~\mathrm{mm} e 800~\mathrm{mm}, logo comprimento total L=\;1200~\mathrm{mm}\n- carga axial N=\;2~\mathrm{kN}=2000~\mathrm{N}\n- módulo E=\;200~\mathrm{GPa}=200000~\mathrm{N/mm}^2\n\nObservação: neste passo apenas listei o que foi dado e o que se pede; não resolvi nada ainda.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal da haste (círculo). Fórmula e significados:\n- A área de um círculo é \displaystyle A=\frac{\pi d^2}{4}, onde d é o diâmetro.\n\nAplicando ao problema:\n A=\frac{\pi (5~\mathrm{mm})^2}{4}=\frac{25\pi}{4}~\mathrm{mm}^2\approx 19,635~\mathrm{mm}^2.
Expliquei: A tem unidade \mathrm{mm}^2 porque d está em \mathrm{mm}.

Passo 3

Explicar a fórmula da deformação axial (alongamento) de uma barra submetida a uma força axial N:
  • Para uma barra uniforme sob tração (ou compressão) axial, o alongamento total é dado por
\delta=\frac{N L}{A E},
onde:\n- \delta é o alongamento (em \mathrm{mm}),\n- N é a força axial (em \mathrm{N}),\n- L é o comprimento da barra submetida à força (em \mathrm{mm}),\n- A é a área da seção (em \mathrm{mm}^2),\n- E é o módulo de elasticidade (em \mathrm{N/mm}^2).\n\nRaciocínio físico curto: a barra alonga proporcionalmente à força e ao comprimento, e inversamente à rigidez AE. Aqui usamos a barra inteira entre A e B', porque se ela alonga e fecha a folga, esse é o deslocamento que precisa ser comparado com a folga de 1~\mathrm{mm}.

Passo 4

Calcular o alongamento \delta com os números do problema. Substituindo na fórmula:
\delta=\frac{N L}{A E}=\frac{2000~\mathrm{N}\times 1200~\mathrm{mm}}{19,635~\mathrm{mm}^2\times 200000~\mathrm{N/mm}^2}.
Vamos calcular em etapas:\n- Numerador: 2000\times 1200=2\,400\,000~\mathrm{N\cdot mm}.\n- Denominador: 19,635\times 200000\approx 3\,927\,000~\mathrm{N}.\n\nLogo
\delta\approx\frac{2\,400\,000}{3\,927\,000}~\mathrm{mm}\approx 0,611~\mathrm{mm}.

Passo 5

Comparação com a folga e conclusão sobre contato com B':\n- A folga é \delta_{gap}=1~\mathrm{mm}.\n- O alongamento sob N=2~\mathrm{kN} é \delta\approx 0,611~\mathrm{mm}, que é menor que 1~\mathrm{mm}.\n\nPortanto a haste NÃO alcança B'; ela não fecha a folga. Assim o apoio B' continua sem contato e não transmite reação (reação em B' = zero). A única reação axial que equilibra a força aplicada é a reação no apoio em A. Pelo equilíbrio de forças axiais, se a carga aplicada puxa a haste para a direita de 2000~\mathrm{N}, o apoio em A fornece uma reação igual e oposta de 2000~\mathrm{N} (ou 2~\mathrm{kN} para a esquerda).\n\nInterpretação física prática: enquanto a folga não for fechada, o sistema é estaticamente determinado e simples — toda a carga é suportada por A.

Passo 6

Observação adicional útil para a prova (quando a folga seria fechada):\n- A carga mínima necessária para fechar a folga satisfaz \delta=N_{req}L/(AE)=\delta_{gap}. Assim
N_{req}=\frac{A E\,\delta_{gap}}{L}=\frac{19,635\times 200000\times 1}{1200}\approx 3\,272~\mathrm{N}\approx 3,27~\mathrm{kN}.
Se N fosse maior que 3,27~\mathrm{kN}, a barra tocaria B' e o problema se tornaria hiperestático (reação repartida entre A e B'); nesse caso haveria que resolver pela compatibilidade de deformações. Mas para N=2~\mathrm{kN} isso não ocorre.

Resposta

Reação em A: 2{,}0~\mathrm{kN} (direção para a esquerda, equilibrando a carga aplicada).\nReação em B': 0{,}0~\mathrm{kN}.

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