26-Considere as informações do texto a seguir, para responder à questão.
Pesquisa recente sobre o tempo total para que os ônibus de determinada linha urbana percorram todo o trajeto entre o ponto inicial e o ponto final, programados para essa viagem, detectou que os tempos de viagem são normalmente distribuídos com tempo médio gasto de 53 minutos e com desvio-padrão amostral de 9 minutos. Nessa pesquisa, foram observados e computados os dados de 16 viagens escolhidas aleatoriamente.
O órgão gestor do transporte coletivo dessa cidade tomou algumas medidas no sentido de melhorar o tempo dessa viagem e, depois dessas medidas, realizou uma nova pesquisa utilizando outra vez uma amostra aleatória de 16 viagens. Verificou nessa pesquisa um tempo médio de viagem de 4 minutos abaixo do detectado anteriormente, mas com o mesmo desvio-padrão anterior. Testando-se a hipótese nula H_{0}: \mu=
53 min , contra a hipótese alternativa H_{1}: \mu<53 \mathrm{~min} com 15 graus de liberdade na tabela t de Student, assinale a alternativa verdadeira.
(a) Aceita-se H_{0} ao nível de significância de 2,5 \%.
(b) Rejeita-se H_{0} ao nível de significância de 0,5 \%.
(c) Rejeita-se H_{0} ao nível de significância de 1 \%.
(d) Aceita-se H_{0} ao nível de significância de 10 \%.
(e) Rejeita-se H_{0} com qualquer nível de significância.

Passo 1

O enunciado trata de um teste de hipótese para a média de uma população normalmente distribuída, usando a estatística t de Student. Temos:
  • hipótese nula \displaystyle H_{0}:\mu=53 min
  • hipótese alternativa \displaystyle H_{1}:\mu<53 min (teste unilateral à esquerda)
  • tamanho da amostra n=16, logo graus de liberdade df=n-1=15
  • desvio-padrão amostral s=9 min
  • média amostral obtida após as medidas \bar x=53-4=49 min.

Passo 2

A estatística de teste é
t \;=\;\frac{\bar x-\mu_{0}}{s/\sqrt{n}}
substituindo,
t = \frac{49 - 53}{9/\sqrt{16}} = \frac{-4}{9/4} = \frac{-4}{2,25} \approx -1,78.

Passo 3

Como o teste é à esquerda, a região de rejeição é
t \le -\,t_{\alpha,15},
onde t_{\alpha,15} é o quantil positivo correspondente ao nível de significância \alpha.

Passo 4

Consultando tabela t para df=15:
  • Para \alpha=2{,}5\%, t_{0,025;15}\approx2,131, logo crítica -2,131.
    Como -1,78 > -2,131, não rejeitamos H_0 (aceita-se H_0).
  • Para \alpha=10\%, t_{0,10;15}\approx1,341, crítica -1,341.
    Como -1,78 \le -1,341, rejeitaríamos H_0.
  • Para \alpha\le1\%, as críticas são ainda mais negativas -2,602, -2,947, e -1,78 fica fora da região de rejeição, logo não se rejeita para esses níveis.

Resposta

(a) Aceita-se H_{0} ao nível de significância de 2,5\%.

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