E7.26 Considere o sistema de entrada única e saída única descrito por
\begin{aligned} \dot{\mathbf{x}}(t) & =\mathbf{A x}(t)+\mathbf{B} u(t) \\\ y(t) & =\mathbf{C x}(t) \end{aligned}
em que
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ 3-K & -2-K \end{array}\right], \mathbf{B}=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right], \mathbf{C}=\left[\begin{array}{ll} 1 & -1 \end{array}\right]
Determine o polinômio característico e trace o lugar geométrico das raízes para 0 \leq K<\infty. Para quais valores de K o sistema é estável?

Passo 1

O enunciado dá um sistema com uma única entrada e saída e matriz \mathbf{A} dependente do parâmetro K. Ele pede três coisas: (i) determinar o polinômio característico do sistema (ou seja, o polinômio \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})); (ii) traçar (descrever) o lugar geométrico das raízes para 0 \le K < \infty; (iii) dizer para quais valores de K o sistema é estável. Informações dadas:
\mathbf{A}=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 3-K & -2-K\end{pmatrix},\qquad \mathbf{B}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 1\end{pmatrix},\qquad \mathbf{C}=\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}.
A partir daqui vamos calcular o polinômio característico e construir passo a passo o lugar das raízes e a condição de estabilidade.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico: por definição é \det(s\mathbf{I}-\mathbf{A}). Para a matriz 2\times2 usamos a fórmula da determinante \det\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc. Aqui
s\mathbf{I}-\mathbf{A}=\begin{pmatrix}s-0 & -1\\[4pt] -(3-K) & s-(-2-K)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}s & -1\\[4pt] K-3 & s+2+K\end{pmatrix}.
Então o polinômio característico é
\begin{aligned} p(s)&=\det(s\mathbf{I}-\mathbf{A})=s(s+2+K)-(-1)(K-3)\\[4pt] &=s^2+(2+K)s+(K-3). \end{aligned}]

Passo 3

Interpretação para fazer o lugar das raízes: escrevemos a equação característica na forma que aparece em lugares geométricos clássicos 1+K\,G(s)=0. Reescrevendo
s^2+(2+K)s+(K-3)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad s^2+2s-3 + K(s+1)=0.
Dividindo por s^2+2s-3 obtemos
1+K\frac{s+1}{s^2+2s-3}=0.
Portanto o “laço” de ganho K\ge0 tem função de malha aberta
G(s)=\frac{s+1}{s^2+2s-3}.

Passo 4

Identificar polos e zeros de G(s) (esses são os pontos de partida e chegada do lugar das raízes):
  • Polos (raízes do denominador s^2+2s-3=0): resolvendo
s^2+2s-3=0 \Rightarrow s=\frac{-2\pm\sqrt{4+12}}{2}=\frac{-2\pm4}{2},
logo os polos são \;s=1 e \;s=-3.
  • Zero (raiz do numerador s+1): s=-1.
Portanto: polos em s=1 e s=-3; zero em s=-1.

Passo 5

Regras do lugar geométrico (explicando de forma simples):
  • O lugar das raízes tem ramos que partem dos polos (aqui s=1 e s=-3) para os zeros finitos (aqui s=-1) ou para zeros no infinito.
  • No eixo real, um ponto pertence ao lugar se o número de polos+zeros à direita dele for ímpar. Aplicando isso:
    • Intervalo (1,\infty): nenhum polo/zero à direita ⇒ par ⇒ não pertence.
    • Intervalo (-1,1): há exatamente 1 (o polo em s=1) à direita ⇒ ímpar ⇒ pertence.
    • Intervalo (-3,-1): há 2 (polos em 1 e zero em -1) à direita ⇒ par ⇒ não pertence.
    • Intervalo (-\infty,-3): há 3 (polos 1,-3 e zero -1) à direita ⇒ ímpar ⇒ pertence.
      Portanto os trechos reais do lugar são (-\infty,-3) e (-1,1).

Passo 6

Assíntotas e centróide (caso em que existem mais polos do que zeros): número de polos p=2, número de zeros z=1, logo p-z=1 assíntota rumo ao infinito. O centróide \sigma das assíntotas é dado por
\sigma=\frac{\sum\text{(polos)}-\sum\text{(zeros)}}{p-z} =\frac{(1)+(-3)-(-1)}{1}=\frac{-2+1}{1}=-1.
Como há uma única assíntota, sua direção é \angle 180^\circ (ou seja, para a esquerda ao longo do eixo real a partir de \mathrm{Re}=-1). Isso confirma que um ramo tende para -\infty pela esquerda com centróide em -1.

Passo 7

Comportamento dos ramos e conclusão do traçado: os dois ramos saem dos polos em s=1 e s=-3. As regras e o centróide mostram:
  • O ramo que sai de s=-3 segue para a esquerda ao longo do intervalo (-\infty,-3) e tende para -\infty (assíntota com centróide em -1).
  • O ramo que sai de s=1 percorre o trecho real (-1,1) em direção a s=-1 e termina no zero em s=-1 quando K cresce.
    Não há encurvamento para complexo porque as raízes serão sempre reais (ver passo seguinte).

Passo 8

Mostrar explicitamente que as raízes são sempre reais: a equação é quadrática, aplicamos a fórmula de Bhaskara. Para
p(s)=s^2+(2+K)s+(K-3),
o discriminante é
\Delta=(2+K)^2-4(K-3)=K^2+16.
Como \Delta=K^2+16>0 para todo K, as duas raízes são reais para todo K\ge0. Aplicando a fórmula:
s=\frac{-(2+K)\pm\sqrt{K^2+16}}{2}.
Analisando os limites quando K\to\infty: usando expansão assintótica obtemos um ramo aproximando-se de s=-1 e o outro tendendo a -\infty, conforme discutido no passo 6.

Passo 9

Condição de estabilidade (aula rápida): para um polinômio de segundo grau
s^2+a_1 s + a_0,
a condição necessária e suficiente para estabilidade (todas as raízes com parte real negativa) é a_1>0 e a_0>0. No nosso caso a_1=2+K e a_0=K-3. Para K\ge0 temos a_1=2+K>0 sempre, então a condição relevante é a_0>0, ou seja
K-3>0 \quad\Longrightarrow\quad K>3.
Também podemos ver pela fórmula das raízes que em K=3 uma raiz é s=0 (marginal) e para K<3 uma raiz é positiva (instável). Portanto o sistema é assintoticamente estável exatamente para K>3. Incentivo rápido: se ficar na dúvida, usar Routh-Hurwitz para ordem 2 dá a mesma condição.

Resposta

Polinômio característico: s^2+(2+K)s+(K-3)
Lugar geométrico das raízes (resumo): polos em s=1 e s=-3, zero em s=-1; ramos reais nos intervalos (-\infty,-3) e (-1,1); centróide das assíntotas em \mathrm{Re}=-1 com uma assíntota na direção \angle180^\circ; as raízes são sempre reais ( \Delta=K^2+16>0); para K\to\infty um polo tende a s=-1 e o outro a -\infty.
Sistema estável para: K>3.

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