Faça um resumo das regras para desenhar o lugar das raízes.

Passo 1

Você pediu um resumo das regras para desenhar o lugar das raízes. Não foi fornecido nenhum sistema específico: vou assumir o caso padrão de um sistema em malha aberta com ganho proporcional K e função de transferência em s dada por
L(s)=K\frac{N(s)}{D(s)},
onde os polos são as raízes de D(s) e os zeros são as raízes de N(s). O objetivo é listar e explicar, passo a passo e de modo didático, as regras práticas que usamos para traçar o lugar das raízes quando K varia de 0 a +\infty.

Passo 2

Conceitos básicos que vamos usar (explicados devagar):
  • Polos: são os valores de s que tornam D(s)=0. Eles são os pontos onde os ramos do lugar das raízes começam (quando K=0).
  • Zeros: são os valores de s que tornam N(s)=0. Eles são os pontos onde os ramos do lugar das raízes terminam (quando K\to\infty), se houver zeros finitos.
  • Equação característica: a condição para existir uma raiz em realimentação é
1+K\frac{N(s)}{D(s)}=0.
Isso dá duas condições úteis:
  • condição de ângulo: a parte angular (fase) de \frac{N(s)}{D(s)} deve ser \pi módulo 2\pi;
  • condição de módulo: o ganho K que coloca uma raiz em s é K = \left| \frac{D(s)}{N(s)} \right|.
    Explico cada uma com calma nos passos seguintes.

Passo 3

Regra 1 — Número de ramos e pontos iniciais/finais:
  • O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de polos (contando multiplicidade). Se n é o grau de D(s), então há n ramos.
  • Cada ramo começa em um polo quando K=0.
  • Cada ramo termina em um zero finito quando K\to\infty. Se o número de zeros finitos m for menor que n, então n-m ramos tendem a zeros no infinito (ver regra das assíntotas).

Passo 4

Regra 2 — Segmentos no eixo real:
  • Um ponto real s=x pertence ao lugar das raízes se, e somente se, o número de polos e zeros reais à direita de x for ímpar.
  • Como usar: marque todos os polos e zeros no eixo real; entre cada par de pontos (e para além dos extremos) conte quantos polos+zeros estão à direita; se for ímpar, desenhe o ramo lá; se for par, não desenhe.
  • Por que isso funciona (intuição): a condição de ângulo para pontos reais resulta numa alternância de inclusão/exclusão entre as regiões do eixo real.

Passo 5

Regra 3 — Assíntotas (quando n>m):
  • Se n é o número de polos e m o número de zeros finitos, então o número de assíntotas é n-m.
  • O centro (centroide) das assíntotas é
\sigma_a = \frac{\sum \text{polos} - \sum \text{zeros}}{n-m},
onde somas significam soma das posições dos polos e zeros (com sinais, em s-plano).
  • Os ângulos das assíntotas são
\theta_k = \frac{(2k+1)\pi}{\,n-m\,},\qquad k=0,1,2,\dots,n-m-1.
  • Intuição: quando há mais polos que zeros, alguns ramos vão para infinito e se alinham nas direções dadas por \theta_k a partir de \sigma_a.

Passo 6

Regra 4 — Condição de ângulo (regra fundamental para decidir se um ponto s está no lugar):
  • Um ponto s pertence ao lugar se
\angle\left(\frac{N(s)}{D(s)}\right) = (2k+1)\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
  • Em prática: calcule a soma das angles dos vetores de s até cada zero e subtraia a soma das angles até cada polo; o resultado deve ser (2k+1)\pi.
  • Exemplo prático: para um sistema com polos em p_1,p_2 e zero em z_1, verifique
\angle(s-z_1)-\angle(s-p_1)-\angle(s-p_2)=(2k+1)\pi.
  • Observação: para pontos no eixo real você só conta ângulos de 0 ou \pi dependendo da posição relativa.

Passo 7

Regra 5 — Condição de módulo (para encontrar K em um ponto s):
  • Se um ponto s satisfaz a condição de ângulo, o ganho correspondente é
K = \left|\frac{D(s)}{N(s)}\right| = \frac{\prod_{i=1}^{n} |s-p_i|}{\prod_{j=1}^{m} |s-z_j|}.
  • Uso prático: após encontrar um ponto s que está no lugar (pela condição de ângulo), calcule K com essa fórmula para saber com qual ganho o sistema tem aquela raiz.

Passo 8

Regra 6 — Pontos de rompimento (breakaway/break-in) no eixo real:
  • Pontos de breakaway/break-in são pontos reais onde ramos distintos se juntam ou se separam.
  • Método prático 1 (mais direto): escreva
K(s) = -\frac{1}{L(s)} = -\frac{D(s)}{N(s)}
a partir de 1+K L(s)=0, e encontre pontos reais que satisfazem
\frac{dK(s)}{ds} = 0.
  • Método prático 2 (equivalente): encontre raízes reais de \frac{d}{ds}\left(\frac{D(s)}{N(s)}\right)=0 que caem em regiões do eixo real permitidas (pela Regra 2).
  • Interpretação: nesses pontos o ganho K atinge um máximo/mínimo local e os ramos se encontram/espaçam.

Passo 9

Regra 7 — Ângulo de partida (departure) e de chegada (arrival) em polos/zeros complexos:
  • Para um polo complexo p_k de multiplicidade 1, o ângulo de saída do ramo que sai desse polo é
\phi_{\text{dep}} = \pi + \sum_{\text{zeros }z_j} \angle(p_k\to z_j) - \sum_{\substack{\text{polos }p_i\\\ i\neq k}} \angle(p_k\to p_i).
  • Para um zero complexo z_l, o ângulo de chegada dos ramos que chegam nesse zero é
\phi_{\text{arr}} = \pi + \sum_{\substack{\text{zeros }z_j\\\ j\neq l}} \angle(z_l\to z_j) - \sum_{\text{polos }p_i} \angle(z_l\to p_i).
  • Para polos/zeros com multiplicidade >1, os ramos saem/chegam com ângulos igualmente espaçados somando (2q+1)\pi/m para q=0,\dots,m-1, onde m é a multiplicidade.

Passo 10

Regra 8 — Cruzamento do eixo imaginário (estabilidade) e métodos práticos:
  • Para encontrar onde os ramos cruzam o eixo imaginário s=j\omega, substitua s=j\omega na equação característica e resolva a condição de ângulo e módulo, ou substitua s=j\omega e separe parte real e imaginária para achar \omega e K.
  • Método alternativo e geralmente mais simples: use o critério de Routh–Hurwitz na equação característica D(s)+K N(s)=0 para achar valores críticos de K onde há troca de estabilidade (pólos na imaginária).
  • Intuição: as interseções com o eixo imaginário determinam para quais K ocorre perda/ganho de estabilidade.

Passo 11

Regra 9 — Polos/zeros repetidos e simetria conjugada:
  • Se um polo (ou zero) tem multiplicidade m, há m ramos que partem (ou chegam) desse ponto. Os ângulos de partida/chegada ficam igualmente espaçados em 360^\circ/m (em radianos, 2\pi/m), começando a partir do ângulo calculado pela fórmula com \pi acrescentado.
  • Polos e zeros aparecem em pares complexos conjugados quando coeficientes são reais; o lugar das raízes é sempre simétrico em relação ao eixo real.

Passo 12

Regra 10 — Zeros no infinito (intuição prática):
  • Quando n>m, n-m ramos “terminam” no infinito. As assíntotas mostram por onde esses ramos saem do plano finito em direção ao infinito; ver Regra 3.
  • Em desenho, trate esses ramos como direcionados pelas assíntotas e pelo comportamento de partida/chegada próximo aos polos.

Passo 13

Procedimento prático resumido (checklist para desenhar passo a passo):
  1. Marcar todos os polos p_i e zeros z_j no plano s.
  2. Determinar quais segmentos do eixo real pertencem ao lugar (Regra 2).
  3. Calcular as assíntotas, \sigma_a e \theta_k (Regra 3).
  4. Encontrar pontos de breakaway/break-in resolvendo dK/ds=0 e verificando se estão em segmentos permitidos (Regra 6).
  5. Calcular ângulos de partida/chegada para polos/zeros complexos (Regra 7).
  6. Determinar interseções com o eixo imaginário usando s=j\omega ou Routh (Regra 8).
  7. Traçar ramos respeitando simetria, começando nos polos e seguindo as direções indicadas até zeros finitos ou assíntotas.
  8. Verificar valores de K em pontos-chave usando a condição de módulo (Regra 5).

Passo 14

Exemplo curto para fixar (apenas para intuição):
  • Considere L(s)=\dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}. Aqui n=3, m=0.
    • Há 3 ramos, começam em s=0,-2,-4.
    • Assíntotas: n-m=3. Centro \sigma_a = \dfrac{0+(-2)+(-4)}{3}=-2.
    • Ângulos das assíntotas: \theta_k = \dfrac{(2k+1)\pi}{3} \pi/3,\pi,5\pi/3 (em graus: 60^\circ,180^\circ,300^\circ).
    • Regiões do eixo real: entre -\infty e -4 (não), entre -4 e -2 (sim), entre -2 e 0 (não), entre 0 e +\infty (sim). Assim, desenhamos ramos nessas regiões e usamos assíntotas para os que vão ao infinito.
  • Esse exemplo mostra a aplicação direta das regras anteriores.

Passo 15

Dicas finais e armadilhas comuns:
  • Sempre verifique a simetria em relação ao eixo real.
  • Use a condição de ângulo para testar pontos: é rápida e evita erros.
  • Para encontrar breakpoints, preste atenção apenas aos que caem em regiões válidas do eixo real.
  • Quando em dúvida sobre a estabilidade para determinado K, use Routh como verificação final.
  • Treine com exemplos simples (2º e 3º ordem) para ganhar intuição antes de encarar sistemas maiores.

Resposta

  1. Número de ramos = número de polos; ramos partem dos polos e terminam nos zeros (ou no infinito).
  2. Ponto real pertence ao lugar se o número de polos+zeros à direita for ímpar.
  3. Assíntotas: quantidade n-m; centro \sigma_a=\dfrac{\sum \text{polos}-\sum \text{zeros}}{n-m}; ângulos \theta_k=\dfrac{(2k+1)\pi}{n-m}.
  4. Condição de ângulo: \angle\!\big(N(s)/D(s)\big)=(2k+1)\pi.
  5. Condição de módulo: K=\left|\dfrac{D(s)}{N(s)}\right|=\dfrac{\prod |s-p_i|}{\prod |s-z_j|}.
  6. Breakaway/break-in: resolver \dfrac{dK(s)}{ds}=0 com K(s)=-1/L(s)=-D(s)/N(s) e validar no eixo real.
  7. Ângulo de partida/chegada: \phi_{\text{dep}}=\pi+\sum\angle(p\to \text{zeros})-\sum_{\text{outros polos}}\angle(p\to p_i) (simetricamente para chegada).
  8. Cruzamento do eixo imaginário: usar s=j\omega na característica ou critério de Routh para achar K crítico.
  9. Polos/zeros repetidos: ramos saem/chegam com ângulos igualmente espaçados; respeitar multiplicidade.
  10. Procedimento prático: marcar polos/zeros → definir segmentos reais → calcular assíntotas → achar breakpoints → ângulos de partida/chegada → interseções imaginárias → traçar ramos → verificar K.

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