5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=(x-5)^{2}

Passo 1

O enunciado pede a primitiva mais geral (ou antiderivada) da função f(x)=(x-5)^{2}.
Informações dadas: a função a integrar é (x-5)^{2}. A pergunta é: encontrar todas as funções F(x) tais que F'(x)=f(x). Não há outras restrições.

Passo 2

O que é uma primitiva? Uma função F é primitiva de f se F'(x)=f(x) para todo x. A primitiva mais geral difere por uma constante: se F é primitiva então F+C também é, para qualquer constante C.
Regras de integração que vamos usar:
\int a\cdot g(x)\,dx = a\int g(x)\,dx
\int \big(g(x)+h(x)\big)\,dx = \int g(x)\,dx + \int h(x)\,dx
Regra do poder (para n\neq -1):
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C

Passo 3

Método direto e simples: usar substituição ou expandir o quadrado. Vou mostrar primeiro a substituição (mais curta) e depois a expansão (para você ver que dá na mesma, salvo constante).
Substituição: faça u=x-5. Então du=dx. A integral fica
\int (x-5)^{2}\,dx = \int u^{2}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do poder à integral em u:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3} + C.
Voltando a x (pois u=x-5):
\int (x-5)^{2}\,dx = \frac{(x-5)^{3}}{3} + C.

Passo 5

Forma alternativa (expansão) — para treinar: expanda o quadrado
(x-5)^{2} = x^{2} - 10x + 25.
Integre termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\qquad \int -10x\,dx = -10\cdot\frac{x^{2}}{2} = -5x^{2},\qquad \int 25\,dx = 25x.
Somando e adicionando C:
\int (x-5)^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} -5x^{2} +25x + C.

Passo 6

Mostrando que as duas formas são equivalentes (apenas diferem por constante): expandindo \dfrac{(x-5)^{3}}{3} obtemos
\frac{(x-5)^{3}}{3} = \frac{x^{3}}{3} -5x^{2} +25x -\frac{125}{3},
logo a forma expandida difere da forma por substituição por -\dfrac{125}{3}, que é só uma constante — portanto representam a mesma primitiva geral.

Passo 7

Cheque final: derive a primitiva encontrada para confirmar. Tome F(x)=\dfrac{(x-5)^{3}}{3}+C. Usando a regra da cadeia e a regra do poder:
F'(x)=\frac{1}{3}\cdot 3(x-5)^{2}\cdot 1 = (x-5)^{2},
que é exatamente f(x). Portanto está correto.

Resposta

\dfrac{(x-5)^{3}}{3}+C

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