5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede a primitiva mais geral (ou antiderivada) da função
.
Informações dadas: a função a integrar é . A pergunta é: encontrar todas as funções
tais que
. Não há outras restrições.
Informações dadas: a função a integrar é
Passo 2
O que é uma primitiva? Uma função
é primitiva de
se
para todo
. A primitiva mais geral difere por uma constante: se
é primitiva então
também é, para qualquer constante
.
Regras de integração que vamos usar:
Regra do poder (para
):
Passo 3
Método direto e simples: usar substituição ou expandir o quadrado. Vou mostrar primeiro a substituição (mais curta) e depois a expansão (para você ver que dá na mesma, salvo constante).
Substituição: faça
. Então
. A integral fica
Passo 4
Agora aplicamos a regra do poder à integral em
:
Voltando a
(pois
):
Passo 5
Forma alternativa (expansão) — para treinar: expanda o quadrado
Integre termo a termo:
Somando e adicionando
:
Passo 6
Mostrando que as duas formas são equivalentes (apenas diferem por constante): expandindo
obtemos
logo a forma expandida difere da forma por substituição por
, que é só uma constante — portanto representam a mesma primitiva geral.
Passo 7
Cheque final: derive a primitiva encontrada para confirmar. Tome
. Usando a regra da cadeia e a regra do poder:
que é exatamente
. Portanto está correto.