Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
, onde
(constante) e $x>0.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada da função
, onde
é uma constante e
.
Informações dadas e úteis: é constante (pode ser inteiro, fracionário, negativo ou irracional) e o domínio considerado é
(isso é importante para poder usar logaritmo natural).
Objetivo final: encontrar em função de
e
.
Informações dadas e úteis:
Objetivo final: encontrar
Passo 2
Por que vamos usar logaritmos (intuição didática): quando o expoente
é um número real geral, a escrita
pode ser tratada como
válida para
. Essa forma transforma a potência em uma exponencial composta, o que facilita a diferenciação porque conhecemos bem a derivada de
e de
. Outra forma equivalente é aplicar diferenciação logarítmica: tomar
dos dois lados e depois derivar implicitamente. Vou fazer a diferenciação passo a passo usando essa ideia e explicar cada regra usada.
Passo 3
Definição inicial e operação permitida: seja
Como
também (potência de base positiva), podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados sem problemas. Tomando
:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Passo 4
Diferenciação implícita — explicar a regra que usamos: quando diferenciamos em relação a
uma função composta
, usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se
, então
. Aqui
e
, e sabemos que
. Portanto,
ao derivar em relação a
obtemos
, onde
.
ao derivar
Do outro lado,
é constante e a derivada de
em relação a
é
. Assim, derivando ambos os lados obtemos
Aqui expliquei:
(cadeia) e
.
Passo 5
Isolar
e substituir
: multiplicando ambos os lados por
temos
Lembrando que
, substituímos:
Simplificando a potência (regras de potência: dividir por
é subtrair 1 no expoente) obtemos
Passo 6
Verificação alternativa (mesma conclusão por outro caminho): podemos também começar escrevendo diretamente
Seja
. Então
(regra da cadeia para exponencial). Como
, segue
mesmo resultado. Usei aqui a derivada de
e a derivada de
.
Passo 7
Observações finais didáticas e exemplos numéricos rápidos:
- A condição
garante que está definido. A fórmula vale para qualquer nesse domínio. - Casos concretos para fixar:
- Se
, então (a fórmula dá ). - Se
, então . Por exemplo, em isso vale . - Se
, então .
- Se
- A regra encontrada
generaliza a regra das potências que você já conhece para expoentes inteiros, estendendo-a para todos os reais (no domínio ).