Use o exercício anterior para calcular a derivada de cada uma das funções abaixo:
y=x^{a}, onde a \in \mathbb{R} (constante) e $x>0.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada da função y = x^{a}, onde a\in\mathbb{R} é uma constante e x>0.
Informações dadas e úteis: a é constante (pode ser inteiro, fracionário, negativo ou irracional) e o domínio considerado é x>0 (isso é importante para poder usar logaritmo natural).
Objetivo final: encontrar y'=\dfrac{dy}{dx} em função de x e a.

Passo 2

Por que vamos usar logaritmos (intuição didática): quando o expoente a é um número real geral, a escrita x^{a} pode ser tratada como
x^{a} = e^{a\ln x},
válida para x>0. Essa forma transforma a potência em uma exponencial composta, o que facilita a diferenciação porque conhecemos bem a derivada de e^{u} e de \ln x. Outra forma equivalente é aplicar diferenciação logarítmica: tomar \ln dos dois lados e depois derivar implicitamente. Vou fazer a diferenciação passo a passo usando essa ideia e explicar cada regra usada.

Passo 3

Definição inicial e operação permitida: seja
y = x^{a},\qquad x>0.
Como y>0 também (potência de base positiva), podemos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados sem problemas. Tomando \ln:
\ln y = \ln\bigl(x^{a}\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(x^{a})=a\ln x, obtemos
\ln y = a\ln x.

Passo 4

Diferenciação implícita — explicar a regra que usamos: quando diferenciamos em relação a x uma função composta \ln(y(x)), usamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz: se F(x)=f(g(x)), então F'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Aqui f(u)=\ln u e u=y(x), e sabemos que f'(u)=1/u. Portanto,
ao derivar \ln y em relação a x obtemos \dfrac{1}{y}\cdot y', onde y'=\dfrac{dy}{dx}.
Do outro lado, a é constante e a derivada de \ln x em relação a x é \dfrac{1}{x}. Assim, derivando ambos os lados obtemos
\frac{1}{y}y' = a\cdot\frac{1}{x}.
Aqui expliquei: \dfrac{d}{dx}\ln y = \dfrac{1}{y}y' (cadeia) e \dfrac{d}{dx}\bigl(a\ln x\bigr)=a\cdot\dfrac{1}{x}.

Passo 5

Isolar y' e substituir y: multiplicando ambos os lados por y temos
y' = a\cdot\frac{y}{x}.
Lembrando que y = x^{a}, substituímos:
y' = a\cdot\frac{x^{a}}{x}.
Simplificando a potência (regras de potência: dividir por x é subtrair 1 no expoente) obtemos
y' = a\,x^{a-1}.

Passo 6

Verificação alternativa (mesma conclusão por outro caminho): podemos também começar escrevendo diretamente
x^{a} = e^{a\ln x}.
Seja u(x)=a\ln x. Então \dfrac{d}{dx}e^{u(x)} = e^{u(x)}\cdot u'(x) (regra da cadeia para exponencial). Como u'(x)=a\cdot\dfrac{1}{x}, segue
\frac{d}{dx}x^{a} = e^{a\ln x}\cdot\frac{a}{x} = x^{a}\cdot\frac{a}{x} = a\,x^{a-1},
mesmo resultado. Usei aqui a derivada de e^{u} e a derivada de \ln x.

Passo 7

Observações finais didáticas e exemplos numéricos rápidos:
  • A condição x>0 garante que \ln x está definido. A fórmula vale para qualquer a\in\mathbb{R} nesse domínio.
  • Casos concretos para fixar:
    • Se a=2, então \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x (a fórmula dá 2x^{1}).
    • Se a=\tfrac{1}{2}, então \dfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}. Por exemplo, em x=4 isso vale \tfrac{1}{2}\cdot 4^{-1/2}=\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{4}.
    • Se a=-3, então \dfrac{d}{dx}x^{-3}=-3x^{-4}.
  • A regra encontrada y'=a x^{a-1} generaliza a regra das potências que você já conhece para expoentes inteiros, estendendo-a para todos os reais (no domínio x>0).

Resposta

y' = a\,x^{a-1}

Exercícios relacionados