*12 Dois capacitores de placas paralelas, ambos com uma capacitância de 6,0 \mu \mathrm{~F}, são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V. Em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade. Quando essa modificação acontece, (a) qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria? (b) Qual é o aumento da carga total armazenada pelos capacitores?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas. Informações relevantes:
  • Dois capacitores de placas paralelas, ambos com capacitância inicial \,6{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Os dois estão ligados em paralelo a uma bateria de \,10\\ \mathrm{V}.
  • Em seguida, a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade (ou seja, d vira d/2 para um deles).
Perguntas do enunciado:
(a) Qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria quando essa modificação acontece?
(b) Qual é o aumento da carga total armazenada pelos capacitores?

Passo 2

Conceitos e fórmulas que usamos (explicadinhos):
  • Capacitância de um capacitor de placas paralelas: \displaystyle C=\frac{\varepsilon_0 A}{d}, onde \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, A é a área das placas e d é a separação. Importante: com A fixo, C é inversamente proporcional a d. Então se d é reduzido à metade, C dobra.
  • Capacitores em paralelo: as capacitâncias somam, isto é, \displaystyle C_{\text{eq}}=C_1+C_2+\dots.
  • Carga num capacitor ligado a uma bateria de tensão V: \displaystyle Q=C\,V.
  • Unidade prática: \,1\\ \mu\mathrm{F}\cdot 1\\ \mathrm{V}=1\\ \mu\mathrm{C}. Isso facilita cálculos sem converter para o sistema internacional.

Passo 3

Estado inicial (antes de reduzir a distância):
  • Cada capacitor tem \,C_1=C_2=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • Como estão em paralelo, a capacitância equivalente inicial é
C_{\text{eq,i}}=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}+6{,}0\\ \mu\mathrm{F}=12{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • A tensão da bateria é \,V=10\\ \mathrm{V}. Então a carga total armazenada inicialmente é
Q_{\text{tot,i}}=C_{\text{eq,i}}\,V=12{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V}=120\\ \mu\mathrm{C}.
  • A carga em cada capacitor inicialmente (por simetria) é
Q_{1,\text{i}}=Q_{2,\text{i}}=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V}=60\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 4

Efeito de reduzir a distância de um capacitor à metade:
  • Para o capacitor cuja separação foi reduzida, a capacitância dobra. Então ele passa de 6{,}0\\ \mu\mathrm{F} para
C_{1,\text{f}}=2\times 6{,}0\\ \mu\mathrm{F}=12{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • O outro permanece com C_{2,\text{f}}=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}.
  • A nova capacitância equivalente é
C_{\text{eq,f}}=C_{1,\text{f}}+C_{2,\text{f}}=12{,}0\\ \mu\mathrm{F}+6{,}0\\ \mu\mathrm{F}=18{,}0\\ \mu\mathrm{F}.

Passo 5

Cálculo das cargas após a modificação (com a bateria ainda conectada):
  • Como a bateria mantém V=10\\ \mathrm{V}, as cargas finais são
Q_{1,\text{f}}=C_{1,\text{f}}\,V=12{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V}=120\\ \mu\mathrm{C},
Q_{2,\text{f}}=C_{2,\text{f}}\,V=6{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V}=60\\ \mu\mathrm{C}.
  • A carga total final é
Q_{\text{tot,f}}=C_{\text{eq,f}}\,V=18{,}0\\ \mu\mathrm{F}\times 10\\ \mathrm{V}=180\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 6

Determinar a carga adicional transferida pela bateria e o aumento da carga total:
  • A mudança de carga do capacitor que teve d reduzido é
\Delta Q_1=Q_{1,\text{f}}-Q_{1,\text{i}}=120\\ \mu\mathrm{C}-60\\ \mu\mathrm{C}=60\\ \mu\mathrm{C}.
Esse aumento veio da bateria: quando a capacitância aumentou, a bateria forneceu carga até a tensão voltar a 10\\ \mathrm{V}. O outro capacitor não mudou de carga ( \Delta Q_2=0).
  • O aumento da carga total armazenada é
\Delta Q_{\text{tot}}=Q_{\text{tot,f}}-Q_{\text{tot,i}}=180\\ \mu\mathrm{C}-120\\ \mu\mathrm{C}=60\\ \mu\mathrm{C}.
  • Observação prática e intuição: a bateria transferiu exatamente o aumento total armazenado, porque a bateria é a fonte que supre a nova carga necessária para manter a mesma tensão quando a capacitância aumenta.

Passo 7

Resumo em linguagem direta e motivadora: a redução da distância duplicou a capacitância de um dos capacitores, esse capacitor absorveu mais carga (exatamente 60\\ \mu\mathrm{C}), essa carga veio da bateria, e por consequência a carga total armazenada pelos dois aumentou em 60\\ \mu\mathrm{C}. Boa! Você já consegue aplicar esse raciocínio rápido em problemas parecidos na prova: se a bateria fica conectada, qualquer aumento de C gera \Delta Q=V\,\Delta C.

Resposta

(a) 60\\ \mu\mathrm{C}
(b) 60\\ \mu\mathrm{C}

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