5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=x^{2}-3 x+2

Passo 1

O enunciado dá a função \;f(x)=x^{2}-3x+2\; e pede para determinar a primitiva mais geral dessa função (ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x)). As informações relevantes que temos são exatamente os três termos de f(x):
x^{2},\quad -3x,\quad 2.
A solução deverá fornecer a família de todas as primitivas (portanto com constante arbitrária).

Passo 2

O que é primitiva? Uma primitiva de f é uma função F tal que F'(x)=f(x). Para calcular primitivas usamos regras básicas de integração (antiderivação):
\text{(linearidade)}\quad \int [a\,g(x)+b\,h(x)]\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx,
\text{(regra da potência)}\quad \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,ê
\text{(constante)}\quad \int c\,dx = c x + C.
Aqui a,b,c são constantes, n é um número real (diferente de -1) e C é a constante de integração. Vou aplicar essas regras termo a termo em f(x).

Passo 3

Integrando o primeiro termo \;x^{2}: usar a regra da potência com n=2. Assim
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^{3}}{3} + C.
Aqui o C é uma constante que combinaremos depois com as outras.

Passo 4

Integrando o segundo termo \;-3x: primeiro fatoramos a constante -3,
\int -3x\,dx = -3\int x\,dx.
Agora aplicamos a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Portanto
\int -3x\,dx = -3\cdot\frac{x^{2}}{2} = -\frac{3x^{2}}{2}.

Passo 5

Integrando o terceiro termo \;2: é uma constante, então
\int 2\,dx = 2x + C.
Novamente o C é a constante de integração que será somada ao final.

Passo 6

Somando as primitivas termo a termo (pela linearidade) e agrupando a constante de integração única C, obtemos a primitiva mais geral
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x + C,
onde C é uma constante real arbitrária.

Passo 7

Vamos conferir derivando F(x). Derivamos termo a termo:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{3x^{2}}{2}\right)=-\frac{3\cdot 2x}{2}=-3x,
\frac{d}{dx}(2x)=2,
\frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Somando os resultados temos x^{2}-3x+2, que é exatamente f(x). A verificação está correta.

Resposta

F(x)=\frac{x^{3}}{3}-\frac{3x^{2}}{2}+2x+C

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