5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para determinar a primitiva mais geral dessa função (ou seja, encontrar uma função
tal que
). As informações relevantes que temos são exatamente os três termos de
:
A solução deverá fornecer a família de todas as primitivas (portanto com constante arbitrária).
Passo 2
O que é primitiva? Uma primitiva de
é uma função
tal que
. Para calcular primitivas usamos regras básicas de integração (antiderivação):
Aqui
são constantes,
é um número real (diferente de
) e
é a constante de integração. Vou aplicar essas regras termo a termo em
.
Passo 3
Integrando o primeiro termo
: usar a regra da potência com
. Assim
Aqui o
é uma constante que combinaremos depois com as outras.
Passo 4
Integrando o segundo termo
: primeiro fatoramos a constante
,
Agora aplicamos a regra da potência com
:
Portanto
Passo 5
Integrando o terceiro termo
: é uma constante, então
Novamente o
é a constante de integração que será somada ao final.
Passo 6
Somando as primitivas termo a termo (pela linearidade) e agrupando a constante de integração única
, obtemos a primitiva mais geral
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 7
Vamos conferir derivando
. Derivamos termo a termo:
Somando os resultados temos
, que é exatamente
. A verificação está correta.