5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a primitiva mais geral da função” e apresenta a função dada. Informações fornecidas:
Logo, precisamos encontrar uma função
tal que
, ou seja, a primitiva geral de
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): primitiva (ou antiderivada) de uma função
é qualquer função
cuja derivada é
. Escrevemos isso como
A primitiva “mais geral” inclui uma constante arbitrária
, porque a derivada de uma constante é zero. Então, quando encontrarmos uma primitiva particular, devemos somar
.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicando cada uma):
- Linearidade da integral/antiderivada: a primitiva de uma soma é soma das primitivas e constantes podem ser puxadas para fora:
onde
e
são constantes. Aqui isso significa que
- Regra da potência (para
): a primitiva de é
No nosso caso precisamos de
, que é o caso
.
- Primitiva de constante:
(mais geral: para constante ).
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 4
Aplicando a linearidade à nossa função:
Expliquei antes por que podemos separar assim: somas e constantes saem da integral.
Passo 5
Calcule
usando a regra da potência com
:
Como já teremos uma constante geral no final, aqui podemos omitir o
temporariamente e adicionar a constante única no fim.
Passo 6
Calcule
:
Novamente, somaremos apenas uma constante
no resultado final.
Passo 7
Combine os resultados, lembrando que só precisamos de uma constante
ao final:
Simplificando o primeiro termo:
Portanto a primitiva geral é
onde
é constante arbitrária.
Passo 8
Verificação (conferir derivando, como o enunciado pede): derivamos
:
Usando a regra da potência e a regra da derivada de constante:
Somando:
que coincide com
. Conferido!