5-26 Determine a primitiva mais geral da função. (Confira sua re posta derivando-a.)
f(x)=4 x+7

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a primitiva mais geral da função” e apresenta a função dada. Informações fornecidas:
f(x)=4x+7.
Logo, precisamos encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=f(x), ou seja, a primitiva geral de f.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): primitiva (ou antiderivada) de uma função f é qualquer função F cuja derivada é f. Escrevemos isso como
F'(x)=f(x).
A primitiva “mais geral” inclui uma constante arbitrária C, porque a derivada de uma constante é zero. Então, quando encontrarmos uma primitiva particular, devemos somar C.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicando cada uma):
  1. Linearidade da integral/antiderivada: a primitiva de uma soma é soma das primitivas e constantes podem ser puxadas para fora:
\int (a\cdot g(x)+b\cdot h(x))\,dx = a\int g(x)\,dx + b\int h(x)\,dx,
onde a e b são constantes. Aqui isso significa que
\int (4x+7)\,dx = 4\int x\,dx + 7\int 1\,dx.
  1. Regra da potência (para n\neq -1): a primitiva de x^n é
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso precisamos de \int x\,dx, que é o caso n=1.
  1. Primitiva de constante: \int 1\,dx = x + C (mais geral: \int a\,dx = a x + C para constante a).
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 4

Aplicando a linearidade à nossa função:
\int (4x+7)\,dx = 4\int x\,dx + 7\int 1\,dx.
Expliquei antes por que podemos separar assim: somas e constantes saem da integral.

Passo 5

Calcule \int x\,dx usando a regra da potência com n=1:
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C.
Como já teremos uma constante geral no final, aqui podemos omitir o C temporariamente e adicionar a constante única no fim.

Passo 6

Calcule \int 1\,dx:
\int 1\,dx = x + C.
Novamente, somaremos apenas uma constante C no resultado final.

Passo 7

Combine os resultados, lembrando que só precisamos de uma constante C ao final:
4\int x\,dx + 7\int 1\,dx = 4\cdot\frac{x^2}{2} + 7\cdot x + C.
Simplificando o primeiro termo:
4\cdot\frac{x^2}{2} = 2x^2.
Portanto a primitiva geral é
F(x)=2x^2+7x+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 8

Verificação (conferir derivando, como o enunciado pede): derivamos F:
F'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(2x^2+7x+C\bigr).
Usando a regra da potência e a regra da derivada de constante:
\frac{d}{dx}(2x^2)=2\cdot 2x=4x,\qquad \frac{d}{dx}(7x)=7,\qquad \frac{d}{dx}\text{(C)}=0.
Somando:
F'(x)=4x+7,
que coincide com f(x). Conferido!

Resposta

F(x)=2x^2+7x+C

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