26-\int_{0}^{1} x \cdot \sqrt{x^{2}+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
26 \;-\;\int_{0}^{1}x\,\sqrt{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x
Aqui o conteúdo é integração por substituição. Vamos primeiro achar
I=\int_{0}^{1}x\,\sqrt{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x
e depois subtrair de 26.

Passo 2

Usamos a substituição
u = x^{2}+1
\mathrm{d}u = 2x\,\mathrm{d}x
x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\mathrm{d}u
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=2. Assim
I = \int_{0}^{1}x\,\sqrt{x^{2}+1}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\int_{1}^{2}u^{\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}u = \frac{1}{2}\,\biggl[\frac{u^{\frac{3}{2}}}{\tfrac{3}{2}}\biggr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\bigl(2^{\frac{3}{2}} - 1^{\frac{3}{2}}\bigr) = \frac{2\sqrt{2}-1}{3}.

Passo 3

Agora fazemos
26 \;-\; I = 26 \;-\;\frac{2\sqrt{2}-1}{3} = \frac{78 - (2\sqrt{2}-1)}{3} = \frac{79 - 2\sqrt{2}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{79 - 2\sqrt{2}}{3}

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