5.26 O motor de engrenagens desenvolve
quando gira a
. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível para o eixo seja
, determinar o menor diâmetro de eixo que pode ser usado com aproximação de
pol.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo de forma clara):
- Potência do motor:
. - Velocidade do eixo:
. - Tensão de cisalhamento admissível do material do eixo:
. - Pedido: determinar o menor diâmetro do eixo, adotando uma aproximação em incrementos de
pol. (ou seja, o diâmetro final deve ser um múltiplo de pol. e pelo menor possível que satisfaça ).
Passo 2
Converter potência e rpm em torque. Vou explicar a relação e cada símbolo:
- Potência
(energia por tempo) relaciona-se ao torque e à velocidade angular por
onde
tem unidades de força×distância/tempo,
é torque (força×distância) e
é velocidade angular em radianos por unidade de tempo.
- Quando usamos rotações por minuto (
), . Assim, se estiver em unidades compatíveis por minuto, o torque em unidades de força×distância é
Para trabalhar com tensão em psi (lb/in^2) e diâmetro em polegadas, convém ter
em in·lbf. Fazendo as conversões:
Portanto a potência dada em in·lbf/min é
Agora o torque
(em in·lbf) é
onde
. Calculemos:
Passo 3
Relação entre torque e tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço. Conceitos e fórmulas:
- Para um eixo circular sólido, o momento polar de inércia (ou momento de segunda ordem polar) é
onde
é o diâmetro externo do eixo.
- A tensão de cisalhamento máxima na superfície (fibra mais externa) para torção é
onde
é o raio externo
.
- Substituindo
e obtemos a forma prática muito usada
Aqui:
-
é a tensão de cisalhamento máxima (unidade: lb/in^2 ou psi), -
é o torque (in·lbf), -
é o diâmetro (in).
Usaremos essa fórmula para impor
.
Passo 4
Determinar o diâmetro necessário a partir de
. Isolando
:
Substituindo os valores numéricos (notar que
e
):
Calcule o numerador e denominador:
Agora a raiz cúbica:
Portanto o diâmetro mínimo contínuo calculado é aproximadamente
.
Passo 5
Ajuste para a aproximação de
pol. (múltiplos de
polegada):
-
. - Os múltiplos relevantes:
, , etc.
O valor calculadoé maior que e menor que . Para garantir que a tensão não ultrapasse o admissível, deve-se escolher o menor múltiplo de que seja maior ou igual ao valor calculado. Assim escolhemos
Passo 6
Verificação rápida: tensão real no diâmetro escolhido para confirmar que
.
Calcule
. Então
Como
, o diâmetro escolhido é seguro (ainda deixa folga de resistência).