5.26 O motor de engrenagens desenvolve 1 / 10 \mathrm{hp} quando gira a 300 \mathrm{rev} / \mathrm{min}. Supondo que a tensão de cisalhamento admissível para o eixo seja \tau_{\mathrm{adm}}=4 \mathrm{ksi}, determinar o menor diâmetro de eixo que pode ser usado com aproximação de 1 / 8 pol.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (listei tudo de forma clara):
  • Potência do motor: \tfrac{1}{10}\\ \text{hp}.
  • Velocidade do eixo: 300\\ \text{rev/min}.
  • Tensão de cisalhamento admissível do material do eixo: \tau_{\mathrm{adm}}=4\\ \text{ksi}.
  • Pedido: determinar o menor diâmetro do eixo, adotando uma aproximação em incrementos de 1/8 pol. (ou seja, o diâmetro final deve ser um múltiplo de 1/8 pol. e pelo menor possível que satisfaça \tau\le\tau_{\mathrm{adm}}).

Passo 2

Converter potência e rpm em torque. Vou explicar a relação e cada símbolo:
  • Potência P (energia por tempo) relaciona-se ao torque T e à velocidade angular \omega por
P = T\omega,
onde P tem unidades de força×distância/tempo, T é torque (força×distância) e \omega é velocidade angular em radianos por unidade de tempo.
  • Quando usamos rotações por minuto ( \text{rev/min}), \omega = 2\pi\,(\text{rev/min}). Assim, se P estiver em unidades compatíveis por minuto, o torque em unidades de força×distância é
T = \frac{P}{2\pi\,\text{(rev/min)}}.
Para trabalhar com tensão em psi (lb/in^2) e diâmetro em polegadas, convém ter T em in·lbf. Fazendo as conversões:
  • 1\\ \text{hp} = 33\,000\\ \text{ft·lbf/min} = 33\,000\cdot 12\\ \text{in·lbf/min} = 396\,000\\ \text{in·lbf/min}.
Portanto a potência dada em in·lbf/min é
P = 0{,}1\\ \text{hp} = 0{,}1\cdot 396\,000 = 39\,600\\ \text{in·lbf/min}.
Agora o torque T (em in·lbf) é
T=\frac{P}{2\pi N}=\frac{39\,600}{2\pi\cdot 300},
onde N=300\\ \text{rev/min}. Calculemos:
2\pi\cdot 300 = 600\pi \approx 1\,884{,}96,
T \approx \frac{39\,600}{1\,884{,}96}\approx 21{,}02\\ \text{in·lbf}.

Passo 3

Relação entre torque e tensão de cisalhamento em um eixo circular maciço. Conceitos e fórmulas:
  • Para um eixo circular sólido, o momento polar de inércia (ou momento de segunda ordem polar) é
J = \frac{\pi d^{4}}{32},
onde d é o diâmetro externo do eixo.
  • A tensão de cisalhamento máxima na superfície (fibra mais externa) para torção é
\tau = \frac{T\,c}{J},
onde c é o raio externo c=\tfrac{d}{2}.
  • Substituindo J e c obtemos a forma prática muito usada
\tau = \frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento máxima (unidade: lb/in^2 ou psi),
  • T é o torque (in·lbf),
  • d é o diâmetro (in).
Usaremos essa fórmula para impor \tau\le\tau_{\mathrm{adm}}.

Passo 4

Determinar o diâmetro necessário a partir de \tau=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}. Isolando d:
d^{3}=\frac{16T}{\pi\tau}\quad\Rightarrow\quad d=\left(\frac{16T}{\pi\tau}\right)^{1/3}.
Substituindo os valores numéricos (notar que \tau_{\mathrm{adm}}=4\\ \text{ksi}=4{,}000\\ \text{psi} e T\approx21{,}02\\ \text{in·lbf}):
d=\left(\frac{16\cdot 21{,}02}{\pi\cdot 4\,000}\right)^{1/3}.
Calcule o numerador e denominador:
16\cdot 21{,}02 = 336{,}32, \qquad \pi\cdot 4\,000 \approx 12\,566{,}37,
\frac{336{,}32}{12\,566{,}37}\approx 0{,}02676.
Agora a raiz cúbica:
d \approx (0{,}02676)^{1/3}\approx 0{,}299\\ \text{in}.
Portanto o diâmetro mínimo contínuo calculado é aproximadamente d\approx 0{,}299\\ \text{in}.

Passo 5

Ajuste para a aproximação de 1/8 pol. (múltiplos de 1/8 polegada):
  • 1/8\\ \text{in}=0{,}125\\ \text{in}.
  • Os múltiplos relevantes: 1/4=0{,}25\\ \text{in}, 3/8=0{,}375\\ \text{in}, etc.
    O valor calculado 0{,}299\\ \text{in} é maior que 0{,}25\\ \text{in} e menor que 0{,}375\\ \text{in}. Para garantir que a tensão não ultrapasse o admissível, deve-se escolher o menor múltiplo de 1/8 que seja maior ou igual ao valor calculado. Assim escolhemos
d = \tfrac{3}{8}\\ \text{in} = 0{,}375\\ \text{in}.

Passo 6

Verificação rápida: tensão real no diâmetro escolhido para confirmar que \tau_{\text{real}}\le\tau_{\mathrm{adm}}.
\tau_{\text{real}}=\frac{16T}{\pi d^{3}}=\frac{16\cdot 21{,}02}{\pi\cdot (0{,}375)^{3}}.
Calcule d^{3}=(0{,}375)^{3}=0{,}052734375. Então
\tau_{\text{real}}\approx\frac{336{,}32}{\pi\cdot 0{,}052734375}\approx 2\,032\\ \text{psi}=2{,}03\\ \text{ksi}.
Como 2{,}03\\ \text{ksi}<4{,}00\\ \text{ksi}, o diâmetro escolhido é seguro (ainda deixa folga de resistência).

Resposta

d=\tfrac{3}{8}\\ \text{in}

Exercícios relacionados