5.40 O motor fornece 50 hp quando gira com taxa constante de 1.350 \mathrm{rev} / \mathrm{min} em A. Pelo sistema de correia e polia, aquela potência é fornecida ao eixo de aço B C do ventilador. Determinar, com aproximação de 1 / 8 pol, o menor diâmetro do eixo se a tensão de cisalhamento admissível para o aço é \tau_{\mathrm{adm}}=12 \mathrm{ksi}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Potência fornecida pelo motor: 50\\ \text{hp}.
  • Velocidade de rotação do eixo: 1\,350\\ \mathrm{rev/min}.
  • A potência é transmitida ao eixo que sofre torque T.
  • Tensão de cisalhamento admissível do aço: \tau_{\mathrm{adm}}=12\\ \text{ksi} (ou seja, 12{,}000\\ \mathrm{psi}).
O que se pede:
  • Determinar o menor diâmetro do eixo, com aproximação de 1/8 de polegada, que não ultrapasse a tensão de cisalhamento admissível.

Passo 2

Converter a potência e a rotação em torque. A relação prática entre potência em cavalos-vapor, torque em libra-pé e rotação em rpm é:
P(\text{hp})=\frac{T(\text{lb}\cdot\text{ft})\cdot \text{rpm}}{5252}.
Nessa fórmula:
  • P é a potência em \text{hp},
  • T é o torque em \text{lb}\cdot\text{ft},
  • \text{rpm} é a rotação em \mathrm{rev/min},
  • 5252 é uma constante que vem da conversão de unidades.
Isolando T:
T(\text{lb}\cdot\text{ft})=\frac{5252\,P(\text{hp})}{\text{rpm}}.
Substituindo P=50\\ \text{hp} e \text{rpm}=1350:
T(\text{lb}\cdot\text{ft})=\frac{5252\cdot50}{1350}=194{,}5185\\ \text{lb}\cdot\text{ft}\\ (\text{aprox.}).
Converter para \text{lb}\cdot\text{in} (multiplicar por 12):
T(\text{lb}\cdot\text{in})=194{,}5185\times12=2\,334{,}222\\ \text{lb}\cdot\text{in}\\ (\text{aprox.}).

Passo 3

Relembrando a mecânica da torção para eixo circular maciço: a tensão de cisalhamento máxima na superfície é dada por
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque (em \text{lb}\cdot\text{in}),
  • c é o raio do eixo (em \text{in}),
  • J é o momento polar de inércia da seção circular (em \text{in}^4).
Para seção circular maciça de diâmetro d:
c=\frac{d}{2},\qquad J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
Substituindo em \tau_{\max}:
\tau_{\max}=\frac{T\,(d/2)}{\pi d^{4}/32}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
\tau=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Aqui:
  • \tau tem unidades de \mathrm{psi} se T está em \text{lb}\cdot\text{in} e d em \text{in}.

Passo 4

Queremos que a tensão calculada não exceda \tau_{\mathrm{adm}}=12{,}000\\ \mathrm{psi}. Então impomos
\frac{16\,T}{\pi d^{3}}\le \tau_{\mathrm{adm}}.
Isolando d^{3}:
d^{3}\ge \frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}.
Portanto o menor d que satisfaz é
d=\sqrt[3]{\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}}.

Passo 5

Substituir os números (usar T=2\,334{,}222\\ \text{lb}\cdot\text{in} e \tau_{\mathrm{adm}}=12{,}000\\ \mathrm{psi}):
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}=\frac{16\times2\,334{,}222}{\pi\times12{,}000}.
Calcular passo a passo:
16\,T=16\times2\,334{,}222=37\,347{,}552.
\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}=\pi\times12{,}000\approx37\,699{,}112.
\frac{16\,T}{\pi\,\tau_{\mathrm{adm}}}\approx\frac{37\,347{,}552}{37\,699{,}112}\approx0{,}9906.
Tomando a raiz cúbica:
d\approx\sqrt[3]{0{,}9906}\approx0{,}997\\ \text{in}.

Passo 6

Arredondamento à aproximação solicitada: aproximar d à fração de 1/8 de polegada (cada 1/8 é 0{,}125\\ \text{in}). Valores em 1/8:
  • 7/8=0{,}875\\ \text{in} (menor que d),
  • 1=1{,}000\\ \text{in}.
Como d\approx0{,}997\\ \text{in}, o valor mais próximo em incrementos de 1/8 é 1{,}000\\ \text{in}. Além disso, é prudente verificar que 7/8 seria insuficiente calculando a tensão para d=7/8:
\tau\Big|_{d=0{,}875}=\frac{16\,T}{\pi(0{,}875)^{3}}\approx17{,}76\\ \text{ksi}>12\\ \text{ksi},
ou seja, falha. Para d=1{,}000\\ \text{in}:
\tau\Big|_{d=1{,}000}=\frac{16\,T}{\pi(1)^{3}}\approx11{,}89\\ \text{ksi}<12\\ \text{ksi},
logo 1{,}000\\ \text{in} atende a condição.

Resposta

1\\ \text{pol}

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