2.26 Uma partícula de carga e move-se num campo eletromagnético uniforme, isto é,
e
são constantes. Mostre que o vetor
é constante de movimento.
Passo 1
O enunciado nos dá uma partícula de massa
e carga
que se move num campo eletromagnético uniforme, ou seja, os vetores
e
são constantes no tempo e no espaço. Define-se o vetor
e pede-se para mostrar que
é constante de movimento (ou seja, que não varia no tempo).
Informações relevantes dadas:
é a massa,
é a carga,
é a velocidade da luz (constante).
é a velocidade e
a posição da partícula.
e
são vetores constantes.
O objetivo é mostrar que
.
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Vamos recordar a equação do movimento (força de Lorentz) para uma partícula carregada num campo elétrico e magnético:
Explicação didática: o lado esquerdo
é a massa vezes a aceleração (a força resultante). No lado direito,
é a força elétrica (proporcional ao campo elétrico) e
é a força magnética (direção dada pelo produto vetorial entre velocidade e campo magnético). O produto vetorial tem a propriedade anti‑comutativa
que vamos usar depois.
Passo 3
Calculamos a derivada temporal de
termo a termo, usando que
e que
são constantes:
Como
é constante no tempo, a derivada do produto vetorial é simplesmente
. Como
é constante,
. Substituindo:
Passo 4
Agora substituímos a aceleração pela força de Lorentz, ou seja, usamos
Colocando isso em
obtemos:
Passo 5
No termo acima os
se cancelam:
. Assim sobra
Usando a propriedade anti‑comutativa do produto vetorial,
, temos
Portanto
Passo 6
Concluímos que a derivada temporal de
é nula, o que significa que
é um vetor constante ao longo do tempo — isto é, uma constante de movimento. Intuição rápida:
combina o momento linear
com um termo magnético
e um termo temporal elétrico
de modo que as forças elétricas e magnéticas se anulam ao calcular a variação temporal total.