2.26 Uma partícula de carga e move-se num campo eletromagnético uniforme, isto é, \mathbf{E} e \mathbf{B} são constantes. Mostre que o vetor \mathbf{K}=m \mathbf{v}+\frac{e}{c} \mathbf{B} \times \mathbf{r}-e \mathbf{E} t é constante de movimento.

Passo 1

O enunciado nos dá uma partícula de massa m e carga e que se move num campo eletromagnético uniforme, ou seja, os vetores \mathbf{E} e \mathbf{B} são constantes no tempo e no espaço. Define-se o vetor
\mathbf{K}=m\mathbf{v}+\frac{e}{c}\mathbf{B}\times\mathbf{r}-e\mathbf{E}t
e pede-se para mostrar que \mathbf{K} é constante de movimento (ou seja, que não varia no tempo).
Informações relevantes dadas:

\bullet m é a massa, e é a carga, c é a velocidade da luz (constante).
\bullet \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} é a velocidade e \mathbf{r} a posição da partícula.
\bullet \mathbf{E} e \mathbf{B} são vetores constantes.
\bullet O objetivo é mostrar que \dfrac{d\mathbf{K}}{dt}= \mathbf{0}.

Passo 2

Vamos recordar a equação do movimento (força de Lorentz) para uma partícula carregada num campo elétrico e magnético:
m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=e\mathbf{E}+\frac{e}{c}\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Explicação didática: o lado esquerdo m\dfrac{d\mathbf{v}}{dt} é a massa vezes a aceleração (a força resultante). No lado direito, e\mathbf{E} é a força elétrica (proporcional ao campo elétrico) e \dfrac{e}{c}\mathbf{v}\times\mathbf{B} é a força magnética (direção dada pelo produto vetorial entre velocidade e campo magnético). O produto vetorial tem a propriedade anti‑comutativa
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -\,\mathbf{b}\times\mathbf{a},
que vamos usar depois.

Passo 3

Calculamos a derivada temporal de \mathbf{K} termo a termo, usando que \mathbf{v}=\dfrac{d\mathbf{r}}{dt} e que \mathbf{E},\mathbf{B} são constantes:
\frac{d\mathbf{K}}{dt} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \frac{e}{c}\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{B}\times\mathbf{r}\bigr) - e\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{E}t\bigr).
Como \mathbf{B} é constante no tempo, a derivada do produto vetorial é simplesmente \mathbf{B}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\mathbf{B}\times\mathbf{v}. Como \mathbf{E} é constante, \dfrac{d}{dt}(\mathbf{E}t)=\mathbf{E}. Substituindo:
\frac{d\mathbf{K}}{dt} = m\frac{d\mathbf{v}}{dt} + \frac{e}{c}\,\mathbf{B}\times\mathbf{v} - e\mathbf{E}.

Passo 4

Agora substituímos a aceleração pela força de Lorentz, ou seja, usamos
m\frac{d\mathbf{v}}{dt}=e\mathbf{E}+\frac{e}{c}\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}.
Colocando isso em \dfrac{d\mathbf{K}}{dt} obtemos:
\frac{d\mathbf{K}}{dt} = \Bigl(e\mathbf{E}+\frac{e}{c}\,\mathbf{v}\times\mathbf{B}\Bigr) + \frac{e}{c}\,\mathbf{B}\times\mathbf{v} - e\mathbf{E}.

Passo 5

No termo acima os e\mathbf{E} se cancelam: e\mathbf{E}-e\mathbf{E}=\mathbf{0}. Assim sobra
\frac{d\mathbf{K}}{dt} = \frac{e}{c}\bigl(\mathbf{v}\times\mathbf{B}+\mathbf{B}\times\mathbf{v}\bigr).
Usando a propriedade anti‑comutativa do produto vetorial, \mathbf{v}\times\mathbf{B} = -\,\mathbf{B}\times\mathbf{v}, temos
\mathbf{v}\times\mathbf{B}+\mathbf{B}\times\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Portanto
\frac{d\mathbf{K}}{dt}=\mathbf{0}.

Passo 6

Concluímos que a derivada temporal de \mathbf{K} é nula, o que significa que \mathbf{K} é um vetor constante ao longo do tempo — isto é, uma constante de movimento. Intuição rápida: \mathbf{K} combina o momento linear m\mathbf{v} com um termo magnético \frac{e}{c}\mathbf{B}\times\mathbf{r} e um termo temporal elétrico -e\mathbf{E}t de modo que as forças elétricas e magnéticas se anulam ao calcular a variação temporal total.

Resposta

\dfrac{d\mathbf{K}}{dt}=\mathbf{0}, portanto \mathbf{K} é constante de movimento.

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